Kalkulator efektu Dopplera

Wyniki

Jak korzystać z kalkulatora efektu Dopplera

1. 1. Wybierz dźwięk lub światło. Dźwięk potrzebuje ośrodka i korzysta z klasycznego wzoru; światło biegnie przez pustą przestrzeń i wymaga wzoru relatywistycznego.
2. 2. Dla dźwięku wybierz, co chcesz obliczyć. Wybierz częstotliwość słyszaną, częstotliwość emitowaną albo prędkość źródła, a następnie wpisz prędkość dźwięku (343 m/s w powietrzu w temperaturze 20 °C), częstotliwości oraz prędkość i kierunek ruchu każdej ze stron.
3. 3. Dla światła wpisz to, co wiesz. Podaj prędkość, przesunięcie ku czerwieni z albo obserwowaną i emitowaną długość fali. Dodaj długość fali spoczynkowej, by zobaczyć, gdzie trafi linia widmowa.
4. 4. Odczytaj wyniki i obliczenia. Otrzymasz przesuniętą wartość, zmianę procentową, liczbę Macha lub β, rysunek czół fal i każdy wzór z wpisanymi liczbami.

Wzór Dopplera dla dźwięku

Gdy źródło dźwięku i słuchacz poruszają się względem powietrza, usłyszana częstotliwość wynosi f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ). Tu f to częstotliwość emitowana przez źródło, v to prędkość dźwięku w ośrodku, vₒ to prędkość obserwatora w kierunku źródła, a vₛ to prędkość źródła w kierunku obserwatora. Jeśli ruch odbywa się w przeciwną stronę, prędkość przyjmuje wartość ujemną. Zbliżające się źródło ściska czoła fal przed sobą (wyższy dźwięk), a oddalające się je rozciąga (niższy dźwięk).

Te dwa przypadki nie są symetryczne. Poruszające się źródło zmienia długość fali docierającej do nieruchomego obserwatora, a poruszający się obserwator spotyka tę samą długość fali w innym tempie. Dla tej samej prędkości dają nieco inne przesunięcia, a wzór utrzymuje je osobno.

Przykład krok po kroku: syrena karetki

Syrena emituje 700 Hz i jedzie z prędkością 30 m/s (108 km/h), mijając stojącego słuchacza; prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Oto wartości wyjściowe:

• Zbliża się: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767,1 Hz, o 9,6% wyżej.
• Oddala się: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643,7 Hz, o 8,0% niżej. Kalkulator pokazuje to jako „jeśli oba kierunki zostałyby odwrócone”.
• Idąc w stronę głośnika 440 Hz z prędkością 1,5 m/s: f′ = 440 × (343 + 1,5) ÷ 343 = 441,9 Hz, przesunięcie zaledwie o 0,44%, zbyt małe, by je usłyszeć.

Ten sam wzór użyty wstecz wyznacza prędkość źródła. Jeśli stojący słuchacz słyszy syrenę 700 Hz jako 767 Hz, prędkość źródła wynosi v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767, czyli około 30 m/s w stronę słuchacza. Gdy źródło osiąga prędkość dźwięku, mianownik staje się zerem; powyżej tej prędkości fale piętrzą się w czoło uderzeniowe — bum dźwiękowy — i wzór przestaje obowiązywać.

Efekt Dopplera i przesunięcie ku czerwieni dla światła

Światło nie potrzebuje ośrodka, więc liczy się tylko prędkość względna, a przesunięcie wynika ze szczególnej teorii względności. Dla źródła oddalającego się wzdłuż linii obserwacji z prędkością v, przy β = v ÷ c, obserwowana długość fali jest dłuższa o czynnik 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)). Źródło zbliżające się daje ujemne z, czyli przesunięcie ku fioletowi. Odwracając wzór, β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1). Przy małej prędkości z ≈ v/c, ale szacunek klasyczny zawodzi w pobliżu prędkości światła.

Przykład wyjściowy to źródło oddalające się z prędkością 30 000 km/s (β = 0,1001): relatywistyczny wzór daje z = 0,1056, więc linia widmowa emitowana przy 656,3 nm jest widziana przy 725,6 nm, a klasyczny szacunek z ≈ v/c = 0,1001 jest o 5,3% za niski.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na efekt Dopplera?

Dla dźwięku f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ), gdzie v to prędkość dźwięku, vₒ to prędkość obserwatora w kierunku źródła, a vₛ to prędkość źródła w kierunku obserwatora. Dla ruchu w przeciwną stronę używaj wartości ujemnych. Dla światła i oddalającego się źródła: 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)).

Dlaczego dźwięk syreny karetki obniża się, gdy mija?

Gdy się zbliża, każde czoło fali wysyłane jest coraz bliżej Ciebie niż poprzednie, więc dociera częściej i słyszysz wyższą częstotliwość. Po minięciu każde czoło startuje dalej, więc dociera rzadziej i ton jest niższy. Sama syrena się nie zmienia.

Czym jest przesunięcie ku czerwieni i co oznacza z?

Przesunięcie ku czerwieni z to względny wzrost długości fali: z = (λ_obserwowana − λ_emitowana) ÷ λ_emitowana. Linia widmowa o długości 500 nm widziana przy 550 nm ma z = 0,1. Ujemne z oznacza przesunięcie ku fioletowi.

Czy źródło może poruszać się szybciej od dźwięku we wzorze Dopplera?

Nie. Przy prędkości dźwięku wzór daje nieskończoną częstotliwość, a szybciej fale nakładają się na siebie, tworząc stożkową falę uderzeniową. Liczba Macha, pokazana w wynikach, to prędkość źródła podzielona przez prędkość dźwięku.

Co ma większe znaczenie: prędkość obserwatora czy źródła?

W przypadku dźwięku różnią się nieznacznie. Przy tej samej prędkości poruszające się źródło przesuwa częstotliwość trochę bardziej niż poruszający się obserwator, bo prędkość występuje w mianowniku. Dla światła oba przypadki są identyczne, bo liczy się tylko prędkość względna.

Jak przesunięcia Dopplera są wykorzystywane w praktyce?

Radar policyjny i meteorologiczny mierzy przesunięcie odbitych mikrofal, by określić prędkość pojazdów i wiatru; ultrasonografia medyczna używa go do pomiaru przepływu krwi, a astronomowie wykorzystują przesunięcia linii widmowych do pomiaru prędkości gwiazd, planet szarpiących swoją gwiazdę i galaktyk.