ドップラー効果計算ツール
音源または聞き手が動いているときに聞こえる周波数を求めたり、音源の周波数や速さを逆算したりできます。光に切り替えると、速さを赤方偏移zに、または赤方偏移を速さに換算できます。符号の約束を明示し、波面を描き、計算過程を書き出します。無料、登録不要です。
空気中、20℃で343 m/s、0℃で331 m/s。
約束：聞き手の速さは音源に向かう方向を正とし、音源の速さは聞き手に向かう方向を正とします。空気は静止しているものとします。
結果
767.1 Hz
聞こえる周波数
+9.585%
周波数の変化
643.7 Hz
両方向が逆だった場合
0.08746
マッハ数で表した音源の速さ
計算過程
- f′ = f× (v + 0) ÷ (v − 30) = 700 × (343 + 0) ÷ (343 − 30) = 767.1 Hz
ドップラー効果計算ツールの使い方
- 1. 音か光かを選びます。 音には媒質が必要で、古典的な式を使います。光は真空中を進むため、相対論的な式が必要です。
- 2. 音の場合は、求めたいものを選びます。 聞こえる周波数、発せられる周波数、音源の速さのいずれかを選び、音速（20℃の空気中で343 m/s）、周波数、そして各側の速さと向きを入力します。
- 3. 光の場合は、わかっていることを入力します。 速さ、赤方偏移z、または観測波長と放出波長のいずれかを入力します。静止波長を加えると、スペクトル線がどこに現れるかがわかります。
- 4. 結果と計算過程を読みます。 変化後の値、変化率、マッハ数または β、波面の図、そして数値を入れた各式が表示されます。
音のドップラー効果の式
音源と聞き手が空気に対して動くとき、聞こえる周波数はf′ = f× (v + vₒ) ÷ (v − vₛ)で求められます。ここでfは音源が発する周波数、vは媒質中の音速、vₒ は聞き手が音源に向かう速さ、vₛ は音源が聞き手に向かう速さです。遠ざかる場合は、それぞれの速さが負の値になります。近づく音源は前方で波面を詰め（高い音になり）、遠ざかる音源は波面を広げます（低い音になります）。
| 状況 | 式 | 結果 |
|---|---|---|
| 音源が近づき、聞き手は静止 | f′ = f× v ÷ (v − vₛ) | 高い音 |
| 音源が遠ざかり、聞き手は静止 | f′ = f× v ÷ (v + vₛ) | 低い音 |
| 聞き手が近づき、音源は静止 | f′ = f× (v + vₒ) ÷ v | 高い音 |
| 聞き手が遠ざかり、音源は静止 | f′ = f× (v − vₒ) ÷ v | 低い音 |
2つの場合は対称ではありません。音源が動くと、静止した聞き手に届く波長が変わります。聞き手が動くと、同じ波長に出会う頻度が変わります。同じ速さでも変化量はわずかに異なり、この式では両者を区別して扱います。
具体例：救急車のサイレン
サイレンが700 Hzの音を出し、時速108 km（30 m/s）で、静止した聞き手の前を通り過ぎるとします。音速は343 m/sです。出発点となる値は次のとおりです：
- 近づくとき： f′ = 700× 343 ÷ (343 − 30) = 767.1 Hz、9.6% 高くなります。
- 遠ざかるとき： f′ = 700× 343 ÷ (343 + 30) = 643.7 Hz、8.0% 低くなります。計算ツールでは、これを「両方向が逆だった場合」として表示します。
- 速さ1.5 m/sで440 Hzのスピーカーに近づくとき： f′ = 440× (343 + 1.5) ÷ 343 = 441.9 Hz、変化はわずか0.44% で、聞き取れるほどではありません。
同じ式を逆向きに使うと、音源の速さを求められます。静止した人が700 Hzのサイレンを767 Hzで聞くなら、音源の速さはv − f× v ÷ f′ = 343 − 700× 343 ÷ 767で、聞き手に向かって約30 m/sです。音源の速さが音速に達すると分母がゼロになります。それを超えると、波は衝撃波（ソニックブーム）に重なり、この式は当てはまらなくなります。
光のドップラーシフトと赤方偏移
光は媒質を必要としないため、重要なのは相対速度だけで、その関係は特殊相対性理論から導かれます。視線方向に速さvで遠ざかる光源について、β = v ÷ cとすると、観測される波長は1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β))の倍だけ長くなります。近づく光源は負のzになり、これを青方偏移といいます。逆に解くと β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1)です。速さが小さいときはz ≈ v/cですが、この古典的な推定は光速の近くでは成り立ちません。
| 赤方偏移z | 光速に対する速さの比 | 速さ（km/s） |
|---|---|---|
| 0.01 | 0.00995 | 2,983 |
| 0.1 | 0.0950 | 28,487 |
| 0.5 | 0.385 | 115,305 |
| 1 | 0.600 | 179,875 |
| 2 | 0.800 | 239,834 |
| 5 | 0.946 | 283,587 |
出発点となる例は、30,000 km/s（β = 0.1001）で遠ざかる光源です。相対論の式ではz = 0.1056となり、放出された656.3 nmのスペクトル線は725.6 nmに見えます。一方、古典的な推定z ≈ v/c = 0.1001は5.3% 小さすぎます。
遠方の銀河の赤方偏移
近くの天体では、ドップラーの式は実際の運動を表します。宇宙論的な距離にある銀河では、観測される赤方偏移の多くは空間そのものが伸びることによるものです。そのため天文学者はzをそのまま示し、この式から求める速さは、文字どおりの速度ではなく便利な換算値として扱います。このツールは、運動が視線に対して横向きの場合に生じる横ドップラー効果は扱いません。
よくある質問
- ドップラー効果の式は何ですか？
- 音の場合はf′ = f× (v + vₒ) ÷ (v − vₛ)です。vは音速、vₒ は聞き手が音源に向かう速さ、vₛ は音源が聞き手に向かう速さです。遠ざかる場合は負の値を使います。光の場合は、遠ざかる光源について1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β))です。
- 救急車のサイレンは、通り過ぎるときになぜ低い音になるのですか？
- 近づいている間は、各波面が前の波面より近い位置から出るため、より頻繁に届き、高い周波数が聞こえます。通り過ぎた後は、各波面の出発点が遠くなるため届く頻度が少なくなり、音が低くなります。サイレンの音そのものは変わりません。
- 赤方偏移とは何で、zは何を意味しますか？
- 赤方偏移zは、波長が増える割合です。z = (λ_観測 − λ_放出) ÷ λ_放出 で求めます。500 nmのスペクトル線が550 nmに見えるならz = 0.1です。zが負のときは、光が青い側へずれています。
- ドップラーの式で、音源は音速より速く動けますか？
- いいえ。音速ちょうどでは式は無限大の周波数を与え、それより速いと波が重なって円錐状の衝撃波になります。結果に表示されるマッハ数は、音源の速さを音速で割ったものです。
- 聞き手の速さと音源の速さでは、どちらの影響が大きいですか？
- 音では、両者はわずかに異なります。同じ速さなら、音源が動くほうが、速さが分母に入るため、聞き手が動く場合よりわずかに大きく周波数が変わります。光では相対速度だけが問題なので、2つの場合は同じです。
- ドップラーシフトは実際にどう使われていますか？
- 警察や気象のレーダーは、反射したマイクロ波のずれを測って速さや風を求めます。医療用の超音波は血流の測定に使います。天文学者はスペクトル線のずれを使って、星、星を揺らす惑星、銀河の速さを測定します。