ما صيغة قوة الجذب؟

F = G m₁ m₂ / r²، حيث G = 6.6743 × 10−11 N·m²/kg²، وm₁ وm₂ الكتلتان بالكيلوغرام، وr المسافة بين مركزيهما بالمتر. والجواب بالنيوتن. ومضاعفة أي كتلة تضاعف القوة، ومضاعفة المسافة تقلّصها إلى الربع.

ما قيمة G، ولماذا يصعب قياسها؟

القيمة الموصى بها من CODATA لعام 2022 هي 6.67430 × 10−11 m³ kg⁻¹ s⁻²، بعدم يقين يبلغ نحو 22 جزءًا في المليون. والجاذبية أضعف القوى بكثير، لذلك يجب أن تكشف القياسات المعملية قوى ضئيلة بين كتل صغيرة وسط الاهتزاز والضجيج الحراري، وما زالت التجارب المختلفة تتفاوت قليلًا فيما بينها.

كيف أجد g على كوكب آخر؟

استخدم وضع شدة المجال مع الإعداد الجاهز للكوكب، وارتفاع يساوي صفرًا: g = GM/R². فتعطي للمريخ نحو 3.73 m/s²، وللقمر نحو 1.62 m/s². وتأتي الكتلة ونصف القطر من ورقة حقائق الكواكب لدى ناسا.

لماذا جوابي صغير جدًا؟

الجاذبية بين الأجسام المألوفة صغيرة فعلًا؛ فشخصان كتلة كل منهما 70 kg على بعد متر يتجاذبان بقوة لا تتجاوز نحو 3 × 10−7 N. وتحقق من وحداتك أيضًا، فالمسافة المكتوبة بالكيلومتر وقراءتها على أنها متر تغيّر القوة بعامل قدره مليون.

ما الفرق بين قوة الجذب والوزن؟

الوزن هو قوة الجذب التي يمارسها جرم كبير، عادةً الأرض، على جسم ما، أي W = mg، حيث g = GM/R² عند ذلك الموضع. وتتفق حاسبة القوة مع صيغة الوزن: فشخص كتلته 70 kg على سطح الأرض يشعر بقوة مقدارها 687.4 N.

هل تصل الجاذبية إلى الصفر أبدًا؟

ليس عند أي مسافة محدودة. فالقوة تتناقص مع 1/r²، فتصبح ضئيلة جدًا دون أن تنعدم أبدًا. وبين جسمين توجد نقاط تتعادل فيها جذباهما، لكن كل جذب ما زال قائمًا.

حاسبة قوة الجذب

اختر ما تريد إيجاده، أي قوة الجذب بين جسمين، أو أي كتلة منهما، أو المسافة، أو شدة الجاذبية على ارتفاع معيّن فوق كوكب، ثم أدخل الباقي. ستحصل على الجواب بالوحدات التي تختارها، وعلى التسارعات التي تسببها، وعلى المعادلة بعد تعويض قيمك فيها. مجانية، دون تسجيل، وتعمل بالكامل داخل متصفحك.

ما الذي تريد إيجاده؟

قوة الجذب بين كتلتينشدة مجال الجاذبية (g)

ابدأ من مثال

أوجد

قوة الجذب Fالكتلة m₁الكتلة m₂المسافة r بين المركزين

الكتلة m₁

الكتلة m₂

المسافة r بين المركزين

تُقاس من مركز إلى مركز. بالنسبة إلى شخص يقف على الأرض، استخدم نصف قطر الأرض.

قوة الجذب F

النتائج

1.982 × 10²⁰ N

قوة الجذب

3.318 × 10⁻⁵ m/s²

تسارع m₁

0.002698 m/s²

تسارع m₂

خطوات الحل

F = G m₁ m₂ / r²

F = 6.6743 × 10⁻¹¹ × 5.9722 × 10²⁴ × 7.346 × 10²² / (3.844 × 10⁸)²

F = 1.982 × 10²⁰ N

يجذب كل جسم الآخر بالقوة نفسها F، في اتجاهين متعاكسين.

الأرقام المعنوية

يفترض أن الأجسام نقاط كتلية أو كرات منتظمة، فتجذب كما لو كانت كتلتها كلها في مركزها (نظرية القشرة الكروية لنيوتن). وتُهمل الدوران والمدّ، وجذب القمر أو الشمس لنقطة على السطح.

كيفية استخدام حاسبة قوة الجذب

1. اختر الحساب. قوة الجذب بين كتلتين تطبّق قانون نيوتن على أي زوج من الأجسام. شدة مجال الجاذبية تعطي g على ارتفاع فوق كوكب أو قمر أو نجم.
2. حدّد المجهول. يتحول المربع الخاص بالمجهول إلى الجواب، واملأ المربعات الأخرى. لكل مربع قائمة وحدات خاصة به، من الكيلوغرام إلى كتل الأرض، ومن المتر إلى الوحدة الفلكية، والصيغة العلمية مثل 5.97e24 مقبولة. ابدأ من مثال إن أردت مجموعة أعداد جاهزة للعمل.
3. راجع الخطوات. تُعرض المعادلة بعد تعويض قيمك بوحدات SI، لتطابقها سطرًا بسطر مع حسابك.
4. اضبط الدقة. تُقرَّب النتائج إلى 3 إلى 6 أرقام معنوية، أما الحساب نفسه فيجري دائمًا بالدقة الكاملة.

قانون نيوتن للجذب العام

القوة

F = G m₁ m₂ / r²

شدة المجال

g = G M / (R + h)²

يجذب كل جسم كل جسم آخر بقوة تتناسب طرديًا مع حاصل ضرب كتلتيهما، وعكسيًا مع مربع المسافة بين مركزيهما. G هو ثابت الجذب العام، ويساوي 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² (CODATA 2022، وبعدم يقين نحو 0.0023%)، وهو أقل الثوابت الأساسية دقةً في القياس (انظر جداول CODATA لدى NIST). ولصغره، لا تصبح الجاذبية ملحوظة إلا حين تكون إحدى الكتلتين بحجم كوكب.

القوتان في الصيغة تشكّلان زوجًا: فالجسم 1 يجذب الجسم 2 بالقدر نفسه الذي يجذب به الجسم 2 الجسم 1، وفي الاتجاه المعاكس (قانون نيوتن الثالث). لكن التسارعين يختلفان، لأن التسارع هو القوة مقسومة على الكتلة، ولذلك تعرض الحاسبة a₁ وa₂ منفصلين. ويرد القانون ومسائله المحلولة في OpenStax University Physics، القسم 13.1.

أمثلة محلولة

الأرض والقمر (المثال الافتراضي). مع M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg وm☾ = 7.346 × 10²² kg وبعد متوسط قدره 384,400 km، تكون F = 1.982 × 10²⁰ N. تتسارع الأرض نحو القمر بمقدار 3.318 × 10⁻⁵ m/s² فقط، ويتسارع القمر نحو الأرض بمقدار 0.002698 m/s².
شخص كتلته 70 kg على الأرض. باستخدام نصف قطر الأرض المتوسط، 6,371 km، مسافةً، تكون F = 687.4 N، وتسارع الشخص 9.820 m/s². وهذا ببساطة وزنه، أي W = mg، ولهذا تكون g ≈ 9.8 m/s².
شخصان كتلة كل منهما 70 kg على بعد متر واحد. F = 3.270 × 10⁻⁷ N، أي نحو ثلث ميكرونيوتن، وهي أصغر بكثير من أن نشعر بها أو أن تتغلب على الاحتكاك.
الشمس والأرض. مع كتلة الشمس 1.9884 × 10³⁰ kg ومسافة 149,598,000 km، تكون F = 3.542 × 10²² N، وهي القوة التي تُبقي الأرض في مدارها.

الجاذبية على الارتفاع

تضعف الجاذبية بتربيع المسافة من مركز الكوكب، لا من سطحه. فإذا ارتفعت 408 km فوق الأرض، وهو قريب من ارتفاع مدار محطة الفضاء الدولية، تنتقل المسافة من 6,371 km إلى 6,779 km. وتنخفض شدة المجال إلى g = 8.674 m/s²، أي 88.33% من قيمتها على السطح. وعلى ارتفاع 100 km، وهو حد الفضاء بحسب تعريف كارمان، تبلغ 9.519 m/s² (96.93%). حتى على ارتفاع 35,786 km لمدار ثابت بالنسبة إلى الأرض، تبلغ g نحو 0.2243 m/s²، أي نحو 2.3% من قيمتها على السطح، وهي ليست صفرًا.

رواد الفضاء ليسوا بلا وزن لأن الجاذبية غابت

على ارتفاع 408 km لا تزال الجاذبية نحو 90% مما تشعر به على الأرض. يطفو رواد الفضاء لأنهم والمحطة في سقوط حر متواصل حول الأرض، يتسارعان معًا. ولن يكون الإفلات من الجاذبية تامًا إلا على مسافة لانهائية، فهي تضعف باستمرار دون أن تنعدم.

الافتراضات والحدود

نقاط كتلية أو كرات منتظمة. تبيّن نظرية القشرة الكروية لنيوتن أن الجرم المتماثل كرويًا يجذب كما لو كانت كتلته كلها في مركزه، لذلك يمكن للكواكب والنجوم استخدام الصيغة نفسها. أما الأجسام غير المنتظمة أو غير الكروية فالنتيجة تقريب.
المسافة من مركز إلى مركز. إدخال المسافة بين السطحين هو أكثر الأخطاء شيوعًا في الواجبات، فأضف نصفي القطرين معًا.
الجاذبية النيوتنية. كافية لكل شيء، من سقوط التفاحة إلى مدارات الكواكب. أما الحقول القوية جدًا أو المدارات الدقيقة جدًا (كحركة حضيض عطارد وساعات GPS) فتحتاج إلى النسبية العامة.
بيانات الأجرام. تستخدم الإعدادات الجاهزة الكتل ونصف القطر المتوسط الحجمي من ورقة حقائق الكواكب لدى ناسا. والعمالقة الغازية ليس لها سطح صلب، لذلك يؤخذ نصف قطرها عند مستوى ضغط 1 bar، وتتغير g الفعلية على السطح بحسب خط العرض والدوران.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة قوة الجذب؟: F = G m₁ m₂ / r²، حيث G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²، وm₁ وm₂ الكتلتان بالكيلوغرام، وr المسافة بين مركزيهما بالمتر. والجواب بالنيوتن. ومضاعفة أي كتلة تضاعف القوة، ومضاعفة المسافة تقلّصها إلى الربع.
ما قيمة G، ولماذا يصعب قياسها؟: القيمة الموصى بها من CODATA لعام 2022 هي 6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²، بعدم يقين يبلغ نحو 22 جزءًا في المليون. والجاذبية أضعف القوى بكثير، لذلك يجب أن تكشف القياسات المعملية قوى ضئيلة بين كتل صغيرة وسط الاهتزاز والضجيج الحراري، وما زالت التجارب المختلفة تتفاوت قليلًا فيما بينها.
كيف أجد g على كوكب آخر؟: استخدم وضع شدة المجال مع الإعداد الجاهز للكوكب، وارتفاع يساوي صفرًا: g = GM/R². فتعطي للمريخ نحو 3.73 m/s²، وللقمر نحو 1.62 m/s². وتأتي الكتلة ونصف القطر من ورقة حقائق الكواكب لدى ناسا.
لماذا جوابي صغير جدًا؟: الجاذبية بين الأجسام المألوفة صغيرة فعلًا؛ فشخصان كتلة كل منهما 70 kg على بعد متر يتجاذبان بقوة لا تتجاوز نحو 3 × 10⁻⁷ N. وتحقق من وحداتك أيضًا، فالمسافة المكتوبة بالكيلومتر وقراءتها على أنها متر تغيّر القوة بعامل قدره مليون.
ما الفرق بين قوة الجذب والوزن؟: الوزن هو قوة الجذب التي يمارسها جرم كبير، عادةً الأرض، على جسم ما، أي W = mg، حيث g = GM/R² عند ذلك الموضع. وتتفق حاسبة القوة مع صيغة الوزن: فشخص كتلته 70 kg على سطح الأرض يشعر بقوة مقدارها 687.4 N.
هل تصل الجاذبية إلى الصفر أبدًا؟: ليس عند أي مسافة محدودة. فالقوة تتناقص مع 1/r²، فتصبح ضئيلة جدًا دون أن تنعدم أبدًا. وبين جسمين توجد نقاط تتعادل فيها جذباهما، لكن كل جذب ما زال قائمًا.