حاسبة كفاءة كارنو

النتائج

كيفية استخدام حاسبة كفاءة كارنو

1. 1. اختر الوضع. أقصى كفاءة يحل η = 1 − T_c/T_h لإيجاد الكفاءة أو أيٍّ من الدرجتين. وثلاجة أو مضخة حرارية يعطيك معاملي الأداء. وفحص التدفقات الحرارية لمحرك يقارن أرقام محرك حقيقي بحد كارنو.
2. 2. أدخل درجات الحرارة. لكل خانة قائمة وحدات للكلفن و°C و°F و°R، وتحوّل الحاسبة الدرجة إلى درجة حرارة مطلقة بنفسها. ويجب أن يكون المستودع الساخن أسخن من البارد أو مساويًا له، وألّا يكون أي منهما عند الصفر المطلق أو دونه.
3. 3. أضف الطاقة إن أردت. في الثلاجة أو المضخة الحرارية يمكنك إدخال الشغل المبذول لترى مقدار الحرارة التي تنقلها. وفي فحص التدفقات أدخل الحرارة الممتصة، وإما الحرارة المطروحة وإما الشغل المنجز.
4. 4. اقرأ النتيجة. يعرض رسم تخطيطي التدفقات الحرارية بسماكة أسهم تتناسب مع حجمها، ويسرد الحساب كل معادلة مع أرقامك.

صيغ كارنو

η_C = 1 − T_c / T_h

COP_cool = T_c / (T_h − T_c)

COP_heat = T_h / (T_h − T_c) = COP_cool + 1

ΔS = Q_c / T_c − Q_h / T_h ≥ 0

في عام 1824 بيّن سادي كارنو أن أي محرك يعمل بين مستودعين حراريين لا يمكن أن يكون أكفأ من محرك عكوس، وأن كل محرك عكوس بين المستودعين نفسيهما له الكفاءة نفسها، وهي تعتمد على درجتي حرارتهما وحدهما. ويجب أن تكون درجات الحرارة مطلقة: فـ 25 °C هي 298.15 K. وترتفع الكفاءة كلما برد الجانب البارد أو سخن الجانب الساخن، ولا تبلغ 100% إلا إذا كان المستودع البارد عند الصفر المطلق، وهذا مستحيل. وهذا هو القانون الثاني للديناميكا الحرارية معبَّرًا عنه برقم. والاشتقاق موجود في OpenStax University Physics Volume 2، القسم 4.5.

تعمل الثلاجة أو المضخة الحرارية الدورة بالاتجاه المعاكس، فتبذل شغلًا W لتنقل الحرارة من البارد إلى الساخن. ويُقاس أداؤها بـ معامل الأداء، أي الحرارة المنقولة لكل وحدة شغل، لا بكفاءة، لأنه يمكن أن يتجاوز 1. وفي التدفئة توجد ميزة إضافية: فالحرارة المنقولة إلى الجانب الساخن هي الحرارة المسحوبة من الجانب البارد مضافًا إليها الشغل، لذلك COP_heat = COP_cool + 1.

أمثلة تطبيقية

1. محطة توليد بالبخار. بخار عند 540 °C (813.15 K) وماء تبريد عند 25 °C (298.15 K) يعطيان η_C = 1 − 298.15/813.15 = 63.33%. وتبلغ محطات الفحم الحقيقية نحو الثلث تقريبًا، وأفضل محطات الغاز ذات الدورة المركبة نحو 60%.
2. درجات بسيطة. مستودعان عند 600 K و300 K يعطيان 50% تمامًا. ولبلوغ 40% مع مبرّد عند 300 K يجب أن تكون الدرجة الساخنة 500 K على الأقل.
3. محرك بخاري عند الضغط الجوي. بين غليان الماء وتجمّده، أي 100 °C و0 °C، لا يتجاوز الحد سوى 26.80%.
4. ثلاجة. مع الحفاظ على 4 °C في مطبخ 25 °C، يكون معامل الأداء المثالي 277.15 / 21 = 13.20. ولفريزر عند −18 °C معامل مثالي أدنى، هو 5.934. والأجهزة الحقيقية تبلغ جزءًا يسيرًا من هذه القيم.
5. مضخة حرارية. للحفاظ على 20 °C داخل المنزل حين تكون 0 °C في الخارج، يكون COP_heat المثالي 14.66: كيلوواط ساعة واحد من الكهرباء يمكن أن يوفّر 14.66 كيلوواط ساعة من الحرارة. والمضخات الحرارية الحقيقية تحقق معامل أداء يقارب 3 إلى 5.
6. فحص محرك. يمتص محرك 1000 J عند 600 K، ويطرح 700 J عند 300 K. فينتج 300 J من الشغل (η = 30%)، وهذا 60% من حد كارنو البالغ 50%، ويولّد 0.6667 J/K من الإنتروبيا. أما الادعاء بإنتاج 600 J من الشغل من الحرارة نفسها فيعني 60%، وهي أعلى من الحد، وهو مستحيل.

الافتراضات والحدود

• مستودعات ثابتة الحرارة. المستودعات كبيرة جدًا بحيث لا يغيّر أخذ الحرارة منها أو إعطاؤها لها درجة حرارتها.
• درجات حرارة مطلقة. استخدم الكلفن دائمًا في المعادلات. والحاسبة تحوّل °C و°F عنك، لكن الحساب اليدوي بـ °C يعطي نتائج خاطئة.
• دورات عكوسة. النتائج حدود عليا؛ فهي لا تقول شيئًا عن سرعة تشغيل المحرك أو عن القدرة التي يُنتجها.
• التشغيل الدوري. فحص القانون الأول W = Q_h − Q_c ينطبق على محرك يعود إلى حالته الابتدائية في كل دورة.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة كفاءة كارنو؟

η = 1 − T_c / T_h، مع كون الدرجتين بالكلفن. وهي أكبر نسبة من الحرارة المأخوذة من المستودع الساخن يمكن لأي محرك أن يحوّلها إلى شغل. وعند 600 K و300 K تكون 1 − 300/600 = 50%.

لماذا يجب أن تكون درجات الحرارة بالكلفن؟

لأن النسبة T_c/T_h لا معنى لها إلا على مقياس مطلق يكون فيه الصفر أدنى درجة حرارة ممكنة. فبمقياس °C ستبدو 25 °C مقابل 100 °C كأنها كفاءة 75%؛ أما بالكلفن فهي 1 − 298.15/373.15 = 20.1%.

هل يمكن أن يكون المحرك بكفاءة 100%؟

ليس عمليًا. لا يبلغ محرك كارنو 100% إلا إذا كان مستودعه البارد عند الصفر المطلق، وهذا لا يمكن بلوغه أبدًا. وأي محرك حقيقي يطرح بعض الحرارة، وهذا ما يشترطه القانون الثاني.

ما معامل الأداء؟

معامل أداء الثلاجة هو الحرارة المسحوبة من الحيز البارد مقسومةً على الشغل المستخدم؛ وفي المضخة الحرارية هو الحرارة المنقولة مقسومةً على الشغل. وعلى عكس الكفاءة يمكن أن يكون أكبر من 1. والقيم الكارنوية T_c/(T_h − T_c) وT_h/(T_h − T_c) هي الأفضل الممكنة.

كيف ترتبط كفاءة المحرك بحده الكارنوي؟

بقسمة أحدهما على الآخر: محرك كفاءته 30% يعمل بين 600 K و300 K يحقق 30/50 = 60% من حده الكارنوي. وتسمّى هذه النسبة الكفاءة وفق القانون الثاني، وهي تبيّن مقدار المجال المتبقي للتحسين.

هل تخالف مضخة حرارية معامل أدائها 4 قانون حفظ الطاقة؟

لا. فهي لا تخلق حرارة من الكهرباء، بل تنقل الحرارة من الخارج إلى الداخل. فمع 1 kWh من الشغل و3 kWh يُسحبان من الهواء الخارجي، يصل 4 kWh إلى الداخل؛ فالطاقة محفوظة، ومعامل الأداء هو نسبة الحرارة المنقولة إلى الشغل المدفوع.