Kalkulator sprawności Carnota

Wynik

Jak korzystać z kalkulatora sprawności Carnota

1. 1. Wybierz tryb. Maksymalna sprawność rozwiązuje η = 1 − T_c/T_h względem sprawności albo dowolnej z temperatur. Lodówka lub pompa ciepła podaje oba współczynniki wydajności. Sprawdź przepływy ciepła silnika porównuje dane rzeczywistego silnika z granicą Carnota.
2. 2. Wpisz temperatury. Każde pole ma menu jednostek: kelwiny, °C, °F i °R, a kalkulator sam przelicza temperaturę bezwzględną. Gorący zbiornik musi mieć co najmniej taką temperaturę jak zimny, a żaden z nich nie może być na poziomie zera bezwzględnego lub poniżej.
3. 3. Dodaj energię, jeśli chcesz. Dla lodówki lub pompy ciepła możesz podać pracę doprowadzoną, aby zobaczyć, ile ciepła zostanie przemieszczone. W sprawdzeniu przepływów podaj pobrane ciepło oraz albo oddane ciepło, albo wykonaną pracę.
4. 4. Odczytaj wynik. Schemat pokazuje przepływy ciepła, a grubość strzałek jest proporcjonalna do ich wielkości, a obliczenia wypisują każde równanie z Twoimi liczbami.

Wzory Carnota

η_C = 1 − T_c / T_h

COP_cool = T_c / (T_h − T_c)

COP_heat = T_h / (T_h − T_c) = COP_cool + 1

ΔS = Q_c / T_c − Q_h / T_h ≥ 0

W 1824 roku Sadi Carnot wykazał, że żadna maszyna pracująca między dwoma zbiornikami ciepła nie może być sprawniejsza od odwracalnej, a każda odwracalna maszyna między tymi samymi zbiornikami ma tę samą sprawność, zależną wyłącznie od ich temperatur. Temperatury muszą być bezwzględne: 25 °C to 298,15 K. Sprawność rośnie, gdy zimna strona staje się chłodniejsza albo gorąca cieplejsza, i osiąga 100% tylko wtedy, gdy zimny zbiornik ma temperaturę zera bezwzględnego, co jest niemożliwe. To druga zasada termodynamiki wyrażona liczbą. Wyprowadzenie znajduje się w OpenStax University Physics Volume 2, section 4.5.

Lodówka lub pompa ciepła działa cykl w odwrotnym kierunku, zużywając pracę W, by przenieść ciepło z zimnej strony na gorącą. Jej wydajność mierzy się współczynnikiem wydajności (COP), czyli ilością przeniesionego ciepła na jednostkę pracy, a nie sprawnością, ponieważ może on przekraczać 1. Ogrzewanie ma dodatkową zaletę: ciepło oddane gorącej stronie to ciepło pobrane z zimnej strony plus praca, więc COP_heat = COP_cool + 1.

Przykłady krok po kroku

1. Elektrownia parowa. Para o temperaturze 540 °C (813,15 K) i woda chłodząca o temperaturze 25 °C (298,15 K) dają η_C = 1 − 298,15/813,15 = 63,33%. Rzeczywiste elektrownie węglowe osiągają mniej więcej jedną trzecią, a najlepsze elektrownie gazowe z obiegiem łączonym około 60%.
2. Proste temperatury. Zbiorniki 600 K i 300 K dają dokładnie 50%. Aby osiągnąć 40% przy zimnym odbiorniku 300 K, gorąca strona musi mieć co najmniej 500 K.
3. Silnik parowy pod ciśnieniem atmosferycznym. Między wrzeniem a zamarzaniem wody, 100 °C i 0 °C, granica wynosi tylko 26,80%.
4. Lodówka. Przy utrzymaniu 4 °C w kuchni o temperaturze 25 °C idealny COP wynosi 277,15 / 21 = 13,20. Zamrażarka w −18 °C ma niższy idealny COP, równy 5,934. Rzeczywiste urządzenia osiągają ułamek tych wartości.
5. Pompa ciepła. Utrzymanie w domu 20 °C, gdy na zewnątrz jest 0 °C, daje idealny COP_heat równy 14,66: jedna kWh energii elektrycznej mogłaby dostarczyć 14,66 kWh ciepła. Rzeczywiste pompy ciepła osiągają COP rzędu 3 do 5.
6. Sprawdzenie silnika. Silnik pobiera 1000 J w 600 K i oddaje 700 J w 300 K. Wykonuje 300 J pracy (η = 30%), co stanowi 60% granicy Carnota wynoszącej 50%, i wytwarza 0,6667 J/K entropii. Deklarowane 600 J pracy z tego samego ciepła dałoby sprawność 60%, ponad granicą, więc jest to niemożliwe.

Założenia i ograniczenia

• Zbiorniki o stałej temperaturze. Zbiorniki są tak duże, że pobranie lub oddanie ciepła nie zmienia ich temperatury.
• Temperatury bezwzględne. We wzorach zawsze używaj kelwinów. Kalkulator przelicza °C i °F, ale obliczenie ręczne z użyciem °C daje błędne wyniki.
• Cykle odwracalne. Wyniki są górnymi granicami; nic nie mówią o tym, jak szybko działa silnik ani jaką moc oddaje.
• Działanie cykliczne. Sprawdzenie pierwszej zasady W = Q_h − Q_c dotyczy silnika, który po każdym cyklu wraca do stanu początkowego.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na sprawność Carnota?

η = 1 − T_c / T_h, przy obu temperaturach w kelwinach. To największa część ciepła pobranego z gorącego zbiornika, którą dowolna maszyna może zamienić na pracę. Przy 600 K i 300 K wynosi ona 1 − 300/600 = 50%.

Dlaczego temperatury muszą być w kelwinach?

Stosunek T_c/T_h ma sens tylko w skali bezwzględnej, w której zero jest najniższą możliwą temperaturą. W °C 25 °C wobec 100 °C wyglądałoby na sprawność 75%; w kelwinach jest to 1 − 298,15/373,15 = 20,1%.

Czy silnik może mieć 100% sprawności?

Nie w praktyce. Silnik Carnota osiąga 100% tylko wtedy, gdy jego zimny zbiornik ma temperaturę zera bezwzględnego, a tego nigdy nie da się osiągnąć. Każdy rzeczywisty silnik oddaje część ciepła, czego wymaga druga zasada termodynamiki.

Czym jest współczynnik wydajności?

COP lodówki to ciepło odebrane z przestrzeni chłodzonej podzielone przez pracę; dla pompy ciepła to ciepło oddane podzielone przez pracę. W odróżnieniu od sprawności może być większy od 1. Wartości Carnota T_c/(T_h − T_c) i T_h/(T_h − T_c) są najlepszymi możliwymi.

Jak sprawność silnika ma się do jego granicy Carnota?

Podziel jedno przez drugie: silnik o sprawności 30% pracujący między 600 K a 300 K osiąga 30/50 = 60% swojej granicy Carnota. Ten stosunek nazywa się sprawnością drugiej zasady i pokazuje, ile miejsca na poprawę pozostało.

Czy pompa ciepła o COP równym 4 łamie zasadę zachowania energii?

Nie. Nie wytwarza ciepła z prądu, tylko przenosi ciepło z zewnątrz do środka. Przy 1 kWh pracy i 3 kWh pobranych z otoczenia do wnętrza trafia 4 kWh, więc energia się zachowuje, a COP to stosunek dostarczonego ciepła do opłaconej pracy.