卡诺效率计算器
输入高温和低温热源的温度(可用开尔文、°C 或 °F),即可得到任何热机在两者之间所能达到的最高效率。切换模式,可计算制冷机或热泵的性能系数(COP),或检验热机的热流是否符合第二定律。计算过程逐步列出。免费,无需注册。
结果
63.33%
最大(卡诺)效率
63.33 J
100 J 热量可得到的最多功
36.67 J
每吸收 100 J 热量放出的热量
813.2 K
高温热源温度 T_h
298.2 K
低温热源温度 T_c
515.0 K
温差
计算过程
η_C = 1 − T_c / T_h
η_C = 1 − 298.15 / 813.15 = 0.633339 = 63.33%
假设在两个恒温热源之间进行理想的可逆卡诺循环,温度以绝对温标计(计算器会为您换算 °C 和 °F)。卡诺值是任何实际热机都无法达到的上限:摩擦、有限的传热速率和不完善的隔热都会降低实际效率。
如何使用卡诺效率计算器
- 1. 选择模式。 最大效率可求解 η = 1 − T_c/T_h,求效率或任一温度。制冷机或热泵给出两种性能系数。检查热机的热流则将实际热机的数值与卡诺极限进行比较。
- 2. 输入温度。 每个方框都有一个可选开尔文、°C、°F 和 °R 的单位菜单,计算器会自行换算为绝对温度。高温热源必须至少与低温热源一样热,且两者都不能处于或低于绝对零度。
- 3. 如需要,添加能量。 对于制冷机或热泵,可输入功,以查看它移动了多少热量。对于热流检查,请输入吸收的热量,以及放出的热量或所做的功之一。
- 4. 读取结果。 示意图展示各股热流,箭头粗细与其大小成比例;计算过程则列出每个方程及您的数值。
卡诺公式
最大效率
η_C = 1 − T_c / T_h
制冷机
COP_cool = T_c / (T_h − T_c)
热泵
COP_heat = T_h / (T_h − T_c) = COP_cool + 1
产生的熵
ΔS = Q_c / T_c − Q_h / T_h ≥ 0
1824 年,萨迪·卡诺证明,任何在两个热源之间工作的热机都不可能比可逆热机更高效;并且,在同样两个热源之间的每一台可逆热机都具有相同的效率,该效率只取决于两者的温度。温度必须为绝对温度:25 °C 即 298.15 K。冷侧越冷或热侧越热,效率就越高;只有当低温热源处于绝对零度时效率才会达到 100%,而这是不可能的。这正是以数字表达的热力学第二定律。推导见 OpenStax University Physics Volume 2，第 4.5 节。
制冷机或热泵是把循环反向运行,消耗功 W 将热量从冷处搬到热处。衡量它的性能不用效率,而用性能系数(COP)——即每单位功所搬运的热量,因为它可以超过 1。供热还有额外的好处:输送到高温侧的热量等于从低温侧取走的热量加上功,因此 COP_heat = COP_cool + 1。
示例
- 蒸汽发电厂。 540 °C(813.15 K)的蒸汽与 25 °C(298.15 K)的冷却水,给出 η_C = 1 − 298.15/813.15 = 63.33%。实际燃煤电厂大约只能达到三分之一;最好的联合循环燃气电厂约为 60%。
- 简单温度。 600 K 与 300 K 的热源恰好给出 50%。若低温热源为 300 K,要达到 40%,高温热源至少须为 500 K。
- 常压下的蒸汽机。 在沸水与冰水之间,即 100 °C 与 0 °C 之间,极限仅为 26.80%。
- 冰箱。 在 25 °C 的厨房里保持 4 °C,理想 COP 为 277.15 / 21 = 13.20。−18 °C 的冷冻柜理想 COP 较低,为 5.934。实际电器只能达到这些值的一部分。
- 热泵。 室外为 0 °C 时把房屋保持在 20 °C,理想 COP_heat 为 14.66:消耗 1 kWh 的电能可输送 14.66 kWh 的热量。实际热泵的 COP 约为 3 至 5。
- 检查热机。 热机在 600 K 吸收 1000 J,在 300 K 放出 700 J。它做功 300 J(η = 30%),相当于卡诺极限 50% 的 60%,并产生 0.6667 J/K 的熵。若同样的热量能做 600 J 的功,则效率为 60%,超过极限,这是不可能的。
实际热机为何达不到极限
卡诺循环是可逆的:它要求在没有温差的情况下以无限慢的速度传热,且没有摩擦。实际热机以有限速率传热,热量会经由机壳散失,内部还存在摩擦,因此会产生熵,做功也较少。典型的汽油发动机只能把燃料能量的约四分之一转化为功,远低于其卡诺极限,这正是卡诺数值为上限而非预测值的原因。
假设与局限
- 恒温热源。 热源大到吸入或放出热量都不会改变其温度。
- 绝对温度。 公式中始终使用开尔文。计算器会换算 °C 和 °F,但手算时若直接代入 °C 会得到错误结果。
- 可逆循环。 结果是上限;它们并不说明热机运行得多快或能输出多大功率。
- 循环运行。 第一定律检验 W = Q_h − Q_c 适用于每个循环都回到起始状态的热机。
常见问题
- 卡诺效率公式是什么?
- η = 1 − T_c / T_h,两个温度均以开尔文计。它是任何热机能从高温热源吸收的热量中转化为功的最大比例。在 600 K 与 300 K 之间,为 1 − 300/600 = 50%。
- 为什么温度必须用开尔文?
- 比值 T_c/T_h 只有在绝对温标(零点为可能的最低温度)上才有意义。若用 °C,25 °C 与 100 °C 相比会得出 75% 的效率;用开尔文则为 1 − 298.15/373.15 = 20.1%。
- 热机能达到 100% 的效率吗?
- 实际上不能。卡诺热机只有在低温热源处于绝对零度时才能达到 100%,而绝对零度永远无法达到。任何实际热机都会放出一些热量,这是第二定律所要求的。
- 什么是性能系数?
- 制冷机的 COP 是从冷空间移走的热量除以所耗功;热泵的 COP 则是输送的热量除以所耗功。与效率不同,它可以大于 1。卡诺值 T_c/(T_h − T_c) 和 T_h/(T_h − T_c) 是可能的最佳值。
- 热机的效率与其卡诺极限有何关系?
- 两者相除:一台效率为 30% 的热机在 600 K 与 300 K 之间工作,其达到的卡诺极限比例为 30/50 = 60%。该比值称为第二定律效率,它表明仍有多少改进空间。
- COP 为 4 的热泵是否违背能量守恒?
- 不违背。它并不是从电能产生热量,而是把热量从室外搬到室内。若输入 1 kWh 的功,并从室外取得 3 kWh 的热量,则有 4 kWh 输送到室内,能量守恒,COP 即为输送的热量与所付功之比。