Carnot-Wirkungsgrad-Rechner
Geben Sie die Temperaturen eines heißen und eines kalten Wärmereservoirs in Kelvin, °C oder °F ein, um den höchsten Wirkungsgrad zu erhalten, den eine Wärmekraftmaschine dazwischen erreichen kann. Wechseln Sie in den Modus für die Leistungszahl eines Kühlschranks oder einer Wärmepumpe oder um zu prüfen, ob die Wärmeströme einer Maschine dem Zweiten Hauptsatz gehorchen. Der Rechenweg wird ausgeschrieben. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Ergebnisse
63,33%
Maximaler (Carnot-)Wirkungsgrad
63,33 J
Höchstarbeit aus 100 J Wärme
36,67 J
Abgegebene Wärme je 100 J aufgenommener Wärme
813,2 K
Temperatur des heißen Reservoirs T_h
298,2 K
Temperatur des kalten Reservoirs T_c
515,0 K
Temperaturdifferenz
Der Rechenweg
η_C = 1 − T_c / T_h
η_C = 1 − 298,15 / 813,15 = 0,633339 = 63,33%
Setzt ideale, reversible Carnot-Kreisprozesse zwischen zwei Reservoirs mit konstanter Temperatur voraus, mit Temperaturen in absoluten Einheiten (der Rechner wandelt °C und °F für Sie um). Carnot-Werte sind obere Grenzen, die keine reale Maschine erreicht: Reibung, endliche Wärmeübertragungsraten und unvollkommene Isolierung senken alle den realen Wirkungsgrad.
So verwenden Sie den Carnot-Wirkungsgrad-Rechner
- 1. Wählen Sie den Modus. Maximaler Wirkungsgrad löst η = 1 − T_c/T_h nach dem Wirkungsgrad oder nach einer der beiden Temperaturen. Kühlschrank oder Wärmepumpe liefert beide Leistungszahlen. Wärmeströme einer Maschine prüfen vergleicht die Werte einer realen Maschine mit der Carnot-Grenze.
- 2. Geben Sie die Temperaturen ein. Jedes Feld hat ein Einheitenmenü für Kelvin, °C, °F und °R, und der Rechner wandelt selbst in absolute Temperaturen um. Das heiße Reservoir muss mindestens so warm sein wie das kalte, und keines darf auf oder unter dem absoluten Nullpunkt liegen.
- 3. Geben Sie die Energie ein, falls gewünscht. Für einen Kühlschrank oder eine Wärmepumpe können Sie die aufgenommene Arbeit angeben, um zu sehen, wie viel Wärme sie bewegt. Für die Prüfung der Wärmeströme geben Sie die aufgenommene Wärme und entweder die abgegebene Wärme oder die verrichtete Arbeit an.
- 4. Lesen Sie das Ergebnis ab. Ein Schema zeigt die Wärmeströme, wobei die Pfeildicke ihrer Größe entspricht, und der Rechenweg listet jede Gleichung mit Ihren Zahlen auf.
Die Carnot-Formeln
Maximaler Wirkungsgrad
η_C = 1 − T_c / T_h
Kühlschrank
COP_cool = T_c / (T_h − T_c)
Wärmepumpe
COP_heat = T_h / (T_h − T_c) = COP_cool + 1
Erzeugte Entropie
ΔS = Q_c / T_c − Q_h / T_h ≥ 0
1824 zeigte Sadi Carnot, dass keine Maschine, die zwischen zwei Wärmereservoirs arbeitet, wirkungsgradmäßig besser sein kann als eine reversible, und dass jede reversible Maschine zwischen denselben beiden Reservoirs den gleichen Wirkungsgrad hat, der nur von deren Temperaturen abhängt. Die Temperaturen müssen absolut sein: 25 °C sind 298,15 K. Der Wirkungsgrad steigt, wenn die kalte Seite kälter oder die heiße Seite wärmer wird, und er erreicht 100 % nur, wenn das kalte Reservoir auf dem absoluten Nullpunkt liegt, was unmöglich ist. Das ist der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik, als Zahl ausgedrückt. Die Herleitung steht in OpenStax University Physics Volume 2, Abschnitt 4.5.
Ein Kühlschrank oder eine Wärmepumpe läuft den Kreisprozess rückwärts und verbraucht Arbeit W, um Wärme von kalt nach warm zu bewegen. Ihre Leistung misst man mit der Leistungszahl (Coefficient of Performance), also der bewegten Wärme je Einheit Arbeit, und nicht mit einem Wirkungsgrad, weil sie größer als 1 sein kann. Beim Heizen gibt es einen Bonus: Die an die warme Seite abgegebene Wärme ist die von der kalten Seite entnommene Wärme plus die Arbeit, sodass COP_heat = COP_cool + 1 gilt.
Beispiele
- Ein Dampfkraftwerk. Dampf mit 540 °C (813,15 K) und Kühlwasser mit 25 °C (298,15 K) ergeben η_C = 1 − 298,15/813,15 = 63,33 %. Reale Kohlekraftwerke erreichen etwa ein Drittel, die besten kombinierten Gaskraftwerke etwa 60 %.
- Einfache Temperaturen. Reservoirs bei 600 K und 300 K ergeben genau 50 %. Um mit einer kalten Seite von 300 K auf 40 % zu kommen, muss die heiße Seite mindestens 500 K haben.
- Eine Dampfmaschine bei Atmosphärendruck. Zwischen siedendem und gefrierendem Wasser, 100 °C und 0 °C, liegt die Grenze nur bei 26,80 %.
- Ein Kühlschrank. Bei 4 °C im Inneren und 25 °C in der Küche beträgt die ideale Leistungszahl 277,15 / 21 = 13,20. Ein Gefrierschrank bei −18 °C hat mit 5,934 eine niedrigere ideale Leistungszahl. Reale Geräte erreichen nur einen Bruchteil davon.
- Eine Wärmepumpe. Um ein Haus bei 20 °C zu halten, wenn es draußen 0 °C hat, beträgt die ideale Leistungszahl COP_heat 14,66: Eine kWh Strom könnte 14,66 kWh Wärme liefern. Reale Wärmepumpen kommen auf eine Leistungszahl von etwa 3 bis 5.
- Prüfung einer Maschine. Eine Maschine nimmt 1000 J bei 600 K auf und gibt 700 J bei 300 K ab. Sie leistet 300 J Arbeit (η = 30 %), das sind 60 % der Carnot-Grenze von 50 %, und sie erzeugt 0,6667 J/K Entropie. Eine behauptete Arbeit von 600 J aus derselben Wärme wären 60 %, über der Grenze, und daher unmöglich.
Warum reale Maschinen zurückbleiben
Der Carnot-Kreisprozess ist reversibel: Er verlangt unendlich langsame Wärmeübertragung ohne jede Temperaturdifferenz und ohne Reibung. Eine reale Maschine überträgt Wärme mit endlicher Geschwindigkeit, verliert Wärme über ihre Wände und reibt sich selbst, sodass sie Entropie erzeugt und weniger Arbeit leistet. Ein typischer Benzinmotor wandelt etwa ein Viertel der Kraftstoffenergie in Arbeit um, deutlich weniger als seine Carnot-Grenze; deshalb ist der Carnot-Wert eine obere Schranke und keine Vorhersage.
Annahmen und Grenzen
- Wärmereservoirs mit konstanter Temperatur. Die Reservoirs sind so groß, dass die Aufnahme oder Abgabe von Wärme ihre Temperatur nicht verändert.
- Absolute Temperaturen. Verwenden Sie in den Formeln immer Kelvin. Der Rechner wandelt °C und °F um, aber eine Handrechnung mit °C ergibt falsche Ergebnisse.
- Reversible Kreisprozesse. Die Ergebnisse sind obere Grenzen; sie sagen nichts darüber aus, wie schnell eine Maschine läuft oder wie viel Leistung sie abgibt.
- Zyklischer Betrieb. Die Prüfung des Ersten Hauptsatzes W = Q_h − Q_c gilt für eine Maschine, die nach jedem Zyklus in ihren Ausgangszustand zurückkehrt.
Häufig gestellte Fragen
- Wie lautet die Carnot-Wirkungsgrad-Formel?
- η = 1 − T_c / T_h, mit beiden Temperaturen in Kelvin. Es ist der größte Anteil der aus dem heißen Reservoir entnommenen Wärme, den eine Maschine in Arbeit umwandeln kann. Bei 600 K und 300 K sind es 1 − 300/600 = 50 %.
- Warum müssen Temperaturen in Kelvin angegeben werden?
- Das Verhältnis T_c/T_h hat nur auf einer absoluten Skala Bedeutung, auf der null die tiefstmögliche Temperatur ist. In °C würden 25 °C gegen 100 °C wie ein Wirkungsgrad von 75 % aussehen; in Kelvin sind es 1 − 298,15/373,15 = 20,1 %.
- Kann eine Maschine einen Wirkungsgrad von 100 % haben?
- In der Praxis nicht. Eine Carnot-Maschine erreicht 100 % nur, wenn ihr kaltes Reservoir auf dem absoluten Nullpunkt liegt, der nie erreicht werden kann. Jede reale Maschine gibt etwas Wärme ab, was der Zweite Hauptsatz verlangt.
- Was ist die Leistungszahl?
- Die Leistungszahl eines Kühlschranks ist die dem kalten Raum entzogene Wärme geteilt durch die Arbeit; bei einer Wärmepumpe ist es die abgegebene Wärme geteilt durch die Arbeit. Anders als ein Wirkungsgrad kann sie größer als 1 sein. Die Carnot-Werte T_c/(T_h − T_c) und T_h/(T_h − T_c) sind die bestmöglichen.
- Wie hängt der Wirkungsgrad einer Maschine mit ihrer Carnot-Grenze zusammen?
- Teilen Sie beide: Eine Maschine mit 30 % Wirkungsgrad, die zwischen 600 K und 300 K arbeitet, erreicht 30/50 = 60 % ihrer Carnot-Grenze. Dieses Verhältnis heißt Wirkungsgrad nach dem Zweiten Hauptsatz und zeigt, wie viel Verbesserungsspielraum noch bleibt.
- Verletzt eine Wärmepumpe mit einer Leistungszahl von 4 den Energieerhaltungssatz?
- Nein. Sie erzeugt keine Wärme aus Strom, sondern bewegt Wärme von außen nach innen. Mit 1 kWh Arbeit und 3 kWh aus der Außenluft kommen 4 kWh drinnen an. Die Energie bleibt also erhalten, und die Leistungszahl ist das Verhältnis aus gelieferter Wärme und eingesetzter Arbeit.