Carnot-rendementcalculator

Resultaten

Zo gebruik je de Carnot-rendementcalculator

1. 1. Kies de modus. Maximaal rendement lost η = 1 − T_c/T_h op naar het rendement of naar een van beide temperaturen. Koelkast of warmtepomp geeft beide prestatiecoëfficiënten. Warmtestromen van een machine controleren vergelijkt de getallen van een echte machine met de Carnot-limiet.
2. 2. Vul de temperaturen in. Elk vak heeft een eenhedenmenu voor kelvin, °C, °F en °R, en de calculator zet het om naar de absolute temperatuur. De hete bron moet minstens zo heet zijn als de koude, en geen van beide mag op of onder het absolute nulpunt liggen.
3. 3. Voeg de energie toe, als je wilt. Voor een koelkast of warmtepomp kun je de toegevoerde arbeid invullen om te zien hoeveel warmte er wordt verplaatst. Voor de controle van de stromen vul je de opgenomen warmte in, plus de afgevoerde warmte of de verrichte arbeid.
4. 4. Lees het resultaat. Een schema toont de warmtestromen, met de dikte van de pijlen naar hun grootte, en de uitwerking geeft elke vergelijking met je getallen.

De Carnot-formules

η_C = 1 − T_c / T_h

COP_cool = T_c / (T_h − T_c)

COP_heat = T_h / (T_h − T_c) = COP_cool + 1

ΔS = Q_c / T_c − Q_h / T_h ≥ 0

In 1824 toonde Sadi Carnot aan dat geen enkele machine die tussen twee warmtebronnen werkt efficiënter kan zijn dan een omkeerbare, en dat elke omkeerbare machine tussen dezelfde twee bronnen hetzelfde rendement heeft, dat alleen van hun temperaturen afhangt. De temperaturen moeten absoluut zijn: 25 °C is 298,15 K. Het rendement stijgt naarmate de koude kant kouder is of de hete kant heter, en het bereikt alleen 100% als de koude bron op het absolute nulpunt ligt, wat onmogelijk is. Dit is de tweede wet van de thermodynamica uitgedrukt als getal. De afleiding staat in OpenStax University Physics Volume 2, paragraaf 4.5.

Een koelkast of warmtepomp draait de cyclus achterstevoren: ze verbruikt arbeid W om warmte van koud naar warm te verplaatsen. Haar prestatie wordt uitgedrukt in de prestatiecoëfficiënt (COP), verplaatste warmte per eenheid arbeid, en niet in een rendement, omdat die groter dan 1 kan zijn. Bij verwarmen is er een voordeel: de warmte die aan de warme kant wordt afgegeven is de warmte die aan de koude kant is onttrokken plus de arbeid, dus COP_heat = COP_cool + 1.

Uitgewerkte voorbeelden

1. Een stoomcentrale. Stoom van 540 °C (813,15 K) en koelwater van 25 °C (298,15 K) geven η_C = 1 − 298,15/813,15 = 63,33%. Echte kolencentrales halen ongeveer een derde; de beste gecombineerde gascentrales ongeveer 60%.
2. Eenvoudige temperaturen. Bronnen van 600 K en 300 K geven precies 50%. Om 40% te halen met een koude bron van 300 K moet de hete kant minstens 500 K zijn.
3. Een stoommachine bij atmosferische druk. Tussen kokend en vriezend water, 100 °C en 0 °C, is de limiet slechts 26,80%.
4. Een koelkast. Bij 4 °C binnen en 25 °C in de keuken is de ideale COP 277,15 / 21 = 13,20. Een vriezer van −18 °C heeft een lagere ideale COP, 5,934. Echte apparaten halen een fractie daarvan.
5. Een warmtepomp. Een huis van 20 °C houden terwijl het buiten 0 °C is, heeft een ideale COP_heat van 14,66: één kWh elektriciteit kan 14,66 kWh warmte leveren. Echte warmtepompen halen een COP van ongeveer 3 tot 5.
6. Een machine controleren. Een machine neemt 1000 J op bij 600 K en voert 700 J af bij 300 K. Ze levert 300 J arbeid (η = 30%), wat 60% van de Carnot-limiet van 50% is, en ze genereert 0,6667 J/K entropie. Een beweerde 600 J arbeid uit dezelfde warmte zou 60% zijn, boven de limiet, en is onmogelijk.

Aannames en beperkingen

• Warmtebronnen met constante temperatuur. De bronnen zijn zo groot dat het opnemen of afgeven van warmte hun temperatuur niet verandert.
• Absolute temperaturen. Gebruik in de formules altijd kelvin. De calculator zet °C en °F om, maar een handberekening met °C geeft verkeerde antwoorden.
• Omkeerbare cycli. De resultaten zijn bovengrenzen; ze zeggen niets over hoe snel een machine draait of hoeveel vermogen ze levert.
• Cyclisch bedrijf. De controle van de eerste wet, W = Q_h − Q_c, geldt voor een machine die na elke cyclus in haar beginsituatie terugkeert.

Veelgestelde vragen

Wat is de formule voor het Carnot-rendement?

η = 1 − T_c / T_h, met beide temperaturen in kelvin. Het is het grootste deel van de warmte uit de hete bron dat een machine in arbeid kan omzetten. Bij 600 K en 300 K is het 1 − 300/600 = 50%.

Waarom moeten temperaturen in kelvin?

De verhouding T_c/T_h heeft alleen betekenis op een absolute schaal waarin nul de laagst mogelijke temperatuur is. In °C zou 25 °C tegen 100 °C er uitzien als een rendement van 75%; in kelvin is het 1 − 298,15/373,15 = 20,1%.

Kan een machine 100% efficiënt zijn?

In de praktijk niet. Een Carnot-machine haalt 100% alleen als haar koude bron op het absolute nulpunt ligt, en dat kan nooit worden bereikt. Elke echte machine voert wat warmte af, wat de tweede wet vereist.

Wat is de prestatiecoëfficiënt?

De COP van een koelkast is de warmte die uit de koude ruimte is weggehaald, gedeeld door de arbeid; voor een warmtepomp is het de geleverde warmte gedeeld door de arbeid. Anders dan een rendement kan hij groter dan 1 zijn. De Carnot-waarden T_c/(T_h − T_c) en T_h/(T_h − T_c) zijn de best mogelijke.

Hoe verhoudt het rendement van een machine zich tot haar Carnot-limiet?

Deel de twee: een machine van 30% die tussen 600 K en 300 K werkt, haalt 30/50 = 60% van haar Carnot-limiet. Die verhouding heet het rendement volgens de tweede wet, en ze laat zien hoeveel ruimte voor verbetering er nog is.

Breekt een warmtepomp met een COP van 4 de wet van behoud van energie?

Nee. Hij maakt geen warmte uit elektriciteit; hij verplaatst warmte van buiten naar binnen. Met 1 kWh arbeid en 3 kWh die uit de buitenlucht wordt opgenomen, komt er 4 kWh binnen, dus de energie blijft behouden en de COP is de verhouding tussen geleverde warmte en betaalde arbeid.