万有引力的公式是什么?

F = G m₁ m₂ / r²,其中 G = 6.6743 × 10−11 N·m²/kg²,m₁ 和 m₂ 为两个质量(单位:千克),r 为两者质心之间的距离(单位:米)。结果以牛顿为单位。任一质量加倍,力就加倍;距离加倍,力则降为四分之一。

G 的值是多少,为什么它如此难以测量?

2022 年 CODATA 推荐值为 6.67430 × 10−11 m³ kg⁻¹ s⁻²,不确定度约为百万分之二十二。引力是迄今最弱的力,因此实验室测量必须在振动和热噪声的干扰下,探测小质量之间极微弱的引力,而且不同实验之间仍存在轻微分歧。

如何求其他行星上的 g?

使用场强模式,选择行星预设并将高度设为零:g = GM/R²。对火星而言约为 3.73 m/s²,对月球而言约为 1.62 m/s²。质量和半径取自 NASA 行星概况表。

为什么我的结果这么小?

日常物体之间的引力确实极其微小。相距一米的两个 70 kg 的人,彼此之间的引力只有约 3 × 10−7 N。也请检查单位:若把以千米输入的距离当作米来读取,力的结果会相差一百万倍。

万有引力与重量有什么区别?

重量是一个大物体(通常是地球)对物体施加的引力,W = mg,其中该处的 g = GM/R²。力计算器与重量公式的结果一致:地球表面一个 70 kg 的人感受到的是 687.4 N。

引力会减小到零吗?

在任何有限距离处都不会。引力按 1/r² 衰减,会变得非常小,但永远不会恰好为零。两个物体之间存在它们的引力相互抵消的点,但每个引力依然存在。

万有引力计算器

选择您想求的量——两个质量之间的引力、任一质量、距离,或行星上方某一高度处的引力场强度——然后输入其余数值。结果会以您所选的单位显示,同时给出它所产生的加速度,以及代入您的数值后的方程式。免费,无需注册,完全在您的浏览器中运行。

您想求什么?

两个质量之间的引力引力场强度 (g)

从示例开始

求解

引力 F质量 m₁质量 m₂中心间距 r

质量 m₁

质量 m₂

中心间距 r

以中心到中心测量。对于站在地球上的人,应使用地球半径。

引力 F

结果

1.982 × 10²⁰ N

引力

3.318 × 10⁻⁵ m/s²

m₁ 的加速度

0.002698 m/s²

m₂ 的加速度

计算过程

F = G m₁ m₂ / r²

F = 6.6743 × 10⁻¹¹ × 5.9722 × 10²⁴ × 7.346 × 10²² / (3.844 × 10⁸)²

F = 1.982 × 10²⁰ N

每个质量都以相同的力 F 朝相反方向拉动对方。

有效数字

假设质量为质点或均匀球体,其引力的作用如同全部质量集中于球心(牛顿壳层定理)。忽略自转、潮汐,以及月球或太阳对地表某点的引力。

如何使用万有引力计算器

1. 选择计算内容。 两个质量之间的引力将牛顿定律应用于任意一对物体。引力场强度给出行星、卫星或恒星上方某一高度处的 g。
2. 选择要求解的量。 未知量所在的输入框会变成答案;请填写其余各项。每个输入框都有自己的单位菜单——从千克到地球质量,从米到天文单位——并且可以使用 5.97e24 这样的科学记数法。如果想要一组可用的数值,可以从示例开始。
3. 核对计算过程。 方程式会以国际单位制代入您的数值后显示,便于您与自己的计算逐行对照。
4. 设置精度。 结果按 3 至 6 位有效数字取整;运算始终以全精度进行。

牛顿万有引力定律

引力

F = G m₁ m₂ / r²

引力场强度

g = G M / (R + h)²

每个质量都以与两者质量乘积成正比、与两者质心距离的平方成反比的力吸引其他每一个质量。G 是引力常量,6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²(CODATA 2022,不确定度约为 0.0023%),它是所有基本常量中测量精度最低的一个(参见 NIST CODATA 常量表)。由于它非常小,只有当其中一个质量达到行星量级时,引力才会变得明显。

公式中的两个力是一对。物体 1 拉物体 2 的力与物体 2 拉物体 1 的力大小相等、方向相反(牛顿第三定律),但加速度不同,因为加速度等于力除以质量。这就是计算器分别给出 a₁ 和 a₂ 的原因。该定律及其例题见 OpenStax University Physics(第 1 卷)第 13.1 节。

示例

地球与月球(默认示例)。取 M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg、m☾ = 7.346 × 10²² kg,平均间距 384,400 km,则 F = 1.982 × 10²⁰ N。地球朝月球的加速度仅为 3.318 × 10⁻⁵ m/s²;月球朝地球的加速度为 0.002698 m/s²。
地球上一个 70 kg 的人。 以地球平均半径 6,371 km 作为距离,则 F = 687.4 N,这个人的加速度为 9.820 m/s²。这正是重量,W = mg,也是 g ≈ 9.8 m/s² 的由来。
相距一米的两个 70 kg 的人。 F = 3.270 × 10⁻⁷ N——约为三分之一微牛,小到既无法感觉到,也不足以克服摩擦力。
太阳与地球。 取太阳质量 1.9884 × 10³⁰ kg,距离 149,598,000 km,则 F = 3.542 × 10²² N,这正是使地球保持在轨道上的力。

高度处的重力

引力随距行星中心的距离平方而减弱,而不是随距其表面的距离减弱。向上升到 408 km——大致是国际空间站的轨道高度——距离便由 6,371 km 变为 6,779 km。场强降至 g = 8.674 m/s²,即地表值的 88.33%。在 100 km 处——按卡门线的通行定义,这里是太空的边缘——它仍为 9.519 m/s²(96.93%)。即使在 35,786 km 的地球静止轨道高度,g 也只有 0.2243 m/s²,约为地表值的 2.3%,但并不为零。

宇航员失重,并非因为没有了重力

在 408 km 处,重力仍约为您在地面所感受到的 90%。宇航员之所以漂浮,是因为他们和空间站都在绕地球持续自由落体,并一同加速。要完全摆脱重力,需要无限远的距离:重力只会越来越弱。

假设与局限

质点或均匀球体。 牛顿壳层定理表明,球对称物体对外的吸引效果等同于其全部质量集中于球心,因此行星和恒星都可以使用同一公式。对于不规则或非球形物体,结果只是近似值。
距离是中心到中心的距离。 在作业答案中最常见的错误,是取了表面之间的间隙;请把两个半径都加上。
牛顿引力理论。 适用于从落下的苹果到行星轨道的一切情形。极强的场或极精确的轨道(水星近日点进动、GPS 时钟)则需要广义相对论。
天体数据。 预设值使用 NASA 行星概况表中的质量和体积平均半径。气态巨行星没有固体表面,因此其半径取 1 bar 压力层处的半径,而实际的表面 g 会随纬度和自转而变化。

常见问题

万有引力的公式是什么?: F = G m₁ m₂ / r²,其中 G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²,m₁ 和 m₂ 为两个质量(单位:千克),r 为两者质心之间的距离(单位:米)。结果以牛顿为单位。任一质量加倍,力就加倍;距离加倍,力则降为四分之一。
G 的值是多少,为什么它如此难以测量?: 2022 年 CODATA 推荐值为 6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²,不确定度约为百万分之二十二。引力是迄今最弱的力,因此实验室测量必须在振动和热噪声的干扰下,探测小质量之间极微弱的引力,而且不同实验之间仍存在轻微分歧。
如何求其他行星上的 g?: 使用场强模式,选择行星预设并将高度设为零:g = GM/R²。对火星而言约为 3.73 m/s²,对月球而言约为 1.62 m/s²。质量和半径取自 NASA 行星概况表。
为什么我的结果这么小?: 日常物体之间的引力确实极其微小。相距一米的两个 70 kg 的人,彼此之间的引力只有约 3 × 10⁻⁷ N。也请检查单位:若把以千米输入的距离当作米来读取,力的结果会相差一百万倍。
万有引力与重量有什么区别?: 重量是一个大物体(通常是地球)对物体施加的引力,W = mg,其中该处的 g = GM/R²。力计算器与重量公式的结果一致:地球表面一个 70 kg 的人感受到的是 687.4 N。
引力会减小到零吗?: 在任何有限距离处都不会。引力按 1/r² 衰减,会变得非常小,但永远不会恰好为零。两个物体之间存在它们的引力相互抵消的点,但每个引力依然存在。