만유인력 계산기
구하고 싶은 값을 고르세요. 두 질량 사이의 힘, 두 질량 중 하나, 거리, 또는 행성 위 어떤 높이에서의 중력 세기 중 하나입니다. 나머지 값을 입력하면 원하는 단위로 답을 얻고, 그 힘이 일으키는 가속도와 숫자를 대입한 식도 함께 볼 수 있습니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 모든 계산은 브라우저에서 실행됩니다.
중심에서 중심까지 잽니다. 지구 위에 선 사람이라면 지구의 반지름을 사용하세요.
결과
1.982 × 10²⁰ N
중력
3.318 × 10⁻⁵ m/s²
m₁의 가속도
0.002698 m/s²
m₂의 가속도
풀이 과정
F = G m₁ m₂ / r²
F = 6.6743 × 10⁻¹¹ × 5.9722 × 10²⁴ × 7.346 × 10²² / (3.844 × 10⁸)²
F = 1.982 × 10²⁰ N
점질량 또는 균일한 구를 가정합니다. 이들의 인력은 모든 질량이 중심에 모인 것처럼 작용합니다(뉴턴의 구 정리). 자전, 조석, 그리고 달이나 태양이 표면 위 한 점에 주는 인력은 무시합니다.
만유인력 계산기 사용 방법
- 1. 계산을 고르세요. 두 질량 사이의 힘은 임의의 두 물체에 뉴턴의 법칙을 적용합니다. 중력장의 세기는 행성, 위성 또는 별 위 어떤 높이에서의 g를 구합니다.
- 2. 구할 값을 고르세요. 구할 값의 입력 칸은 답으로 바뀝니다. 나머지 칸을 채우세요. 칸마다 자체 단위 메뉴가 있어, 킬로그램을 지구 질량으로, 미터를 천문단위로 바꿀 수 있습니다. 5.97e24 같은 지수 표기도 입력할 수 있습니다. 작업이 끝난 숫자 세트를 원하면 예시에서 시작하세요.
- 3. 풀이 과정을 확인하세요. 식에 SI 단위로 값을 대입한 모습을 보여 주므로, 직접 계산한 결과와 한 줄씩 맞춰 볼 수 있습니다.
- 4. 정밀도를 정하세요. 결과는 유효숫자 3–6자리로 반올림되며, 계산 자체는 항상 전체 정밀도로 수행됩니다.
뉴턴의 만유인력 법칙
힘
F = G m₁ m₂ / r²
중력장의 세기
g = G M / (R + h)²
모든 질량은 다른 모든 질량을 끌어당기며, 그 힘은 두 질량의 곱에 비례하고 두 질량 중심 사이 거리의 제곱에 반비례합니다. G는 중력 상수로, 6.6743 × 10−11 N·m²/kg²입니다(CODATA 2022, 불확도 약 0.0023%). 기본 상수 가운데 가장 덜 정밀하게 알려진 값입니다(NIST CODATA 표 참고). G가 매우 작기 때문에 중력은 질량 중 하나가 행성 크기일 때에만 뚜렷하게 느껴집니다.
공식의 두 힘은 한 쌍입니다. 물체 1이 물체 2를 당기는 힘과 물체 2가 물체 1을 당기는 힘은 크기가 같고 방향은 반대입니다(뉴턴의 제3법칙). 하지만 가속도는 서로 다른데, 가속도는 힘을 질량으로 나눈 값이기 때문입니다. 그래서 계산기는 a₁과 a₂를 따로 보고합니다. 법칙과 그 풀이 예제는 OpenStax University Physics 13.1절에 있습니다.
실제 예시
- 지구와 달 (기본 예시). M⊕ = 5.9722 × 1024 kg, m☾ = 7.346 × 1022 kg, 평균 거리 384,400 km이면 F = 1.982 × 1020 N입니다. 지구는 달 쪽으로 3.318 × 10−5 m/s²의 가속도로, 달은 지구 쪽으로 0.002698 m/s²의 가속도로 움직입니다.
- 지구 위의 70 kg인 사람. 지구의 평균 반지름 6,371 km를 거리로 쓰면 F = 687.4 N이고, 이 사람의 가속도는 9.820 m/s²입니다. 이것은 곧 무게 W = mg이며, g ≈ 9.8 m/s²인 이유이기도 합니다.
- 1 m 떨어진 70 kg인 두 사람. F = 3.270 × 10−7 N입니다. 1 마이크로뉴턴의 3분의 1 정도로, 느낄 수도 없고 마찰을 이길 수도 없을 만큼 작습니다.
- 태양과 지구. 태양의 질량 1.9884 × 1030 kg, 거리 149,598,000 km이면 F = 3.542 × 1022 N이며, 이것이 지구를 궤도에 붙잡아 두는 힘입니다.
고도에서의 중력
중력은 행성 표면이 아니라 행성 중심으로부터의 거리의 제곱에 따라 약해집니다. 국제우주정거장 궤도 높이에 해당하는 지구 위 408 km까지 올라가면 거리는 6,371 km에서 6,779 km로 늘어납니다. 그러면 중력 세기는 g = 8.674 m/s²로 떨어지며, 이는 표면값의 88.33%입니다. 우주의 경계로 여겨지는 카르만 라인 높이 100 km에서도 여전히 9.519 m/s²(96.93%)입니다. 정지궤도 고도인 35,786 km에서도 g는 0.2243 m/s²으로, 표면값의 약 2.3%이며 0이 아닙니다.
우주비행사가 무중력 상태인 이유는 중력이 사라져서가 아닙니다
408 km 높이에서도 중력은 지상에서 느끼는 값의 거의 90%입니다. 우주비행사가 떠 있는 이유는 자신과 우주정거장이 지구 둘레를 계속 자유 낙하하며 함께 가속하기 때문입니다. 중력에서 완전히 벗어나려면 무한히 먼 거리가 필요합니다. 중력은 그저 점점 약해질 뿐입니다.
가정과 한계
- 점질량 또는 균일한 구. 뉴턴의 구 정리에 따르면 구대칭인 물체는 질량이 모두 중심에 모인 것처럼 끌어당기므로, 행성과 별에도 같은 식을 쓸 수 있습니다. 불규칙하거나 구형이 아닌 물체에서는 결과가 근사치입니다.
- 거리는 중심에서 중심까지입니다. 표면 사이의 간격을 넣는 것이 과제 답안에서 가장 흔한 실수입니다. 두 반지름을 모두 더하세요.
- 뉴턴의 중력. 떨어지는 사과부터 행성의 궤도까지 대부분에 충분합니다. 매우 강한 중력장이나 매우 정밀한 궤도(수성의 근일점 이동, GPS 시계)에는 일반 상대성이론이 필요합니다.
- 천체 자료. 프리셋은 NASA 행성 사실 자료의 질량과 부피 평균 반지름을 사용합니다. 기체 행성에는 고체 표면이 없으므로 반지름을 1바(bar) 기압면에서 잡으며, 실제 표면 중력은 위도와 자전에 따라 달라집니다.
자주 묻는 질문
- 만유인력의 공식은 무엇인가요?
- F = G m₁ m₂ / r²입니다. 여기서 G = 6.6743 × 10−11 N·m²/kg², m₁과 m₂는 두 질량(kg), r은 두 질량 중심 사이의 거리(m)입니다. 답은 뉴턴(N) 단위입니다. 어느 한 질량을 두 배로 하면 힘도 두 배가 되고, 거리를 두 배로 하면 힘은 4분의 1이 됩니다.
- G의 값은 얼마이며, 왜 측정하기 어려운가요?
- 2022년 CODATA 권장값은 6.67430 × 10−11 m³ kg⁻¹ s⁻²이며, 불확도는 약 22 ppm(백만분율)입니다. 중력은 가장 약한 힘이므로, 실험실에서는 진동과 열잡음 속에서 작은 질량 사이의 미세한 힘을 측정해야 합니다. 실험마다 결과가 아직 조금씩 다릅니다.
- 다른 행성에서의 g는 어떻게 구하나요?
- 중력장 세기 모드에서 행성 프리셋을 고르고 고도를 0으로 설정하세요. g = GM/R²입니다. 화성에서는 약 3.73 m/s², 달에서는 약 1.62 m/s²입니다. 질량과 반지름은 NASA 행성 사실 자료에서 가져온 값입니다.
- 답이 왜 이렇게 작게 나오나요?
- 일상적인 물체 사이의 중력은 실제로 매우 작습니다. 1 m 떨어진 70 kg인 두 사람은 약 3 × 10−7 N의 힘으로만 서로를 끌어당깁니다. 단위도 확인하세요. 킬로미터로 입력한 거리를 미터로 잘못 읽으면 힘이 백만 배 달라집니다.
- 중력과 무게의 차이는 무엇인가요?
- 무게는 큰 물체, 보통 지구가 물체에 작용하는 중력입니다. W = mg이며, 여기서 g는 그 위치의 GM/R²입니다. 만유인력 계산기와 무게 공식은 일치합니다. 지구 표면의 70 kg인 사람은 687.4 N을 느낍니다.
- 중력은 언젠가 0이 되나요?
- 유한한 거리에서는 0이 되지 않습니다. 힘은 1/r²에 따라 줄어들어 매우 작아지지만 정확히 0이 되지는 않습니다. 두 물체 사이에는 당기는 힘이 서로 상쇄되는 지점이 있지만, 각 물체가 당기는 힘은 여전히 작용합니다.