万有引力計算ツール
求めたいもの（2つの質量の間の力、どちらかの質量、距離、または惑星の上空のある高度での重力の強さ）を選び、残りの値を入力してください。選んだ単位での答え、その結果生じる加速度、そして自分の数値を代入した式が表示されます。無料で、登録は不要です。すべてブラウザ内で動作します。
中心から中心までを測ります。地球上に立つ人の場合は、地球の半径を使います。
結果
1.982 × 10²⁰ N
重力
3.318 × 10⁻⁵ m/s²
m₁ の加速度
0.002698 m/s²
m₂ の加速度
計算過程
F = G m₁ m₂ / r²
F = 6.6743 × 10⁻¹¹ × 5.9722 × 10²⁴ × 7.346 × 10²² / (3.844 × 10⁸)²
F = 1.982 × 10²⁰ N
点質量、または一様な球を仮定します。この場合、球の引力は質量がすべて中心に集まっているかのように働きます（ニュートンの殻定理）。自転、潮汐、そして表面の点に対する月や太陽の引力は無視します。
万有引力計算ツールの使い方
- 1. 計算を選びます。 2つの質量の間の重力 は、任意の2つの天体にニュートンの法則を適用します。重力場の強さ は、惑星・月・恒星の上空のある高度での g を求めます。
- 2. 求める値を選びます。 求める値の欄は答えに変わるので、ほかの欄を入力してください。各欄には独自の単位メニューがあります（キログラムから地球の質量まで、メートルから天文単位まで）。5.97e24 のような指数表記も使えます。動作する数値のセットが欲しい場合は、例から始めてください。
- 3. 計算過程を確認します。 入力した値を SI 単位で代入した式が表示されるので、自分の計算と一行ずつ照らし合わせることができます。
- 4. 有効数字を設定します。 結果は有効数字 3〜6 桁に丸められます。計算そのものは常に全精度で行われます。
ニュートンの万有引力の法則
力
F = G m₁ m₂ / r²
重力場の強さ
g = G M / (R + h)²
すべての質量は、質量の積に比例し、中心間の距離の2乗に反比例する力で、ほかのすべての質量を引きます。G は万有引力定数で、6.6743 × 10−11 N·m²/kg² です（CODATA 2022、不確かさは約 0.0023%）。これは基本定数の中で最も精度よく決まっていない定数です（NIST の CODATA の表 を参照）。G は非常に小さいため、重力が目立つのは、どちらかの質量が惑星ほどの大きさのときだけです。
式に現れる2つの力は対になっています。天体 1 が天体 2 を引く力は、天体 2 が天体 1 を引く力と大きさが等しく、向きが逆です（ニュートンの第3法則）。ただし、加速度は力を質量で割ったものなので、加速度 は異なります。そのため、この計算ツールは a₁ と a₂ を別々に示します。この法則と例題は、OpenStax University Physics の 13.1 節 にあります。
計算例
- 地球と月（既定の例）。M⊕ = 5.9722 × 1024 kg、m☾ = 7.346 × 1022 kg、平均距離 384,400km のとき、F = 1.982 × 1020 N です。地球が月に向かう加速度はわずか 3.318 × 10−5 m/s² で、月が地球に向かう加速度は 0.002698 m/s² です。
- 地球上の 70kg の人。 距離として地球の平均半径 6,371km を使うと、F = 687.4 N で、その人の加速度は 9.820 m/s² です。これは単に重さ W = mg であり、g ≈ 9.8 m/s² となる理由でもあります。
- 1m 離れた 70kg の2人。 F = 3.270 × 10−7 N です。約 3分の1マイクロニュートンで、感じるにも、摩擦に打ち勝つにも小さすぎる力です。
- 太陽と地球。 太陽の質量 1.9884 × 1030 kg と距離 149,598,000km を使うと、F = 3.542 × 1022 N です。これは地球を軌道にとどめておく力です。
高度での重力
重力は、惑星の表面からの距離ではなく、惑星の中心からの距離の2乗に従って弱まります。国際宇宙ステーションの軌道にほぼ相当する、地球の上空 408km まで上がると、距離は 6,371km から 6,779km になります。重力場の強さは g = 8.674 m/s² に下がり、これは表面での値の 88.33% です。カルマン線の基準で宇宙空間の端とされる 100km でも、なお 9.519 m/s²（96.93%）あります。静止軌道の高度 35,786km でも、g は 0.2243 m/s² で、表面の値の約 2.3% です。これは、ゼロではありません。
宇宙飛行士が無重力なのは、重力がなくなるからではありません
408km でも重力は、地上で感じる重さのほぼ 90% です。宇宙飛行士が浮いて見えるのは、自分自身と宇宙ステーションが地球の周りを絶えず自由落下していて、一緒に加速しているからです。重力を完全に逃れるには無限の距離が必要です。重力は弱くなっていくだけです。
前提と限界
- 点質量または一様な球。 ニュートンの殻定理によれば、球対称な天体は、質量がすべて中心に集まっているかのように引力を及ぼします。そのため、惑星や恒星にも同じ式を使えます。不規則な形や球でない物体については、結果は近似です。
- 距離は中心から中心までです。 表面どうしの隙間を入力するのは、宿題の解答でもっとも多い間違いです。両方の半径を加えてください。
- ニュートンの重力理論。 落下するりんごから惑星の軌道まで、あらゆる場合に十分です。非常に強い場や非常に精密な軌道（水星の近日点移動、GPS 時計など）には、一般相対性理論が必要です。
- 天体のデータ。 プリセットは、NASA の惑星ファクトシート の質量と体積平均半径を使います。ガス惑星には固体の表面がないため、半径は 1 bar の気圧面で取っています。実際の表面の g は、緯度や自転によって変わります。
よくある質問
- 万有引力の式は何ですか？
- F = G m₁ m₂ / r² です。ここで G = 6.6743 × 10−11 N·m²/kg²、m₁ と m₂ はそれぞれの質量（キログラム）、r は中心間の距離（メートル）です。答えはニュートン（N）で表されます。どちらかの質量を2倍にすると力も2倍になり、距離を2倍にすると力は4分の1になります。
- G の値はいくらで、なぜ測定が難しいのですか？
- 2022 年の CODATA 推奨値は 6.67430 × 10−11 m³ kg⁻¹ s⁻² で、その不確かさは約 22 ppm（100万分の22）です。重力は圧倒的に最も弱い力なので、実験室では小さな質量の間の微小な力を、振動や熱雑音の中で検出しなければなりません。また、実験どうしの結果には、まだわずかな食い違いがあります。
- 別の惑星の g はどのように求めますか？
- 惑星のプリセットと高度ゼロで重力場モードを使います。g = GM/R² です。火星では約 3.73 m/s²、月では約 1.62 m/s² になります。質量と半径は NASA の惑星ファクトシートから取られています。
- 答えがとても小さいのはなぜですか？
- 身近な物体の間の重力は、本当に小さいからです。1m 離れた 70kg の2人が引き合う力は、約 3 × 10−7 N にすぎません。単位も確認してください。キロメートルで入力した距離をメートルとして読むと、力は 100 万倍変わってしまいます。
- 万有引力と重さの違いは何ですか？
- 重さは、大きな天体（通常は地球）がある物体に及ぼす重力です。W = mg で、g はその場所での GM/R² です。力の計算ツールと重さの式は一致します。地球の表面にいる 70kg の人は 687.4 N を感じます。
- 重力は決してゼロにならないのですか？
- 有限の距離ではゼロになりません。力は 1/r² に比例して小さくなり、非常に小さくはなりますが、正確にゼロになることはありません。2つの天体の間には、引力が打ち消し合う点がありますが、それぞれの引力は依然としてそこにあります。