Калькулятор гравитационной силы

Результаты

Как пользоваться калькулятором гравитационной силы

1. 1. Выберите расчёт. Сила притяжения между двумя массами применяет закон Ньютона к любой паре тел. Напряжённость гравитационного поля даёт g на некоторой высоте над планетой, луной или звездой.
2. 2. Выберите, что найти. Поле неизвестной величины превращается в ответ; заполните остальные. У каждого поля есть свой список единиц — от килограммов до масс Земли, от метров до астрономических единиц, — и научная запись вроде 5,97e24 тоже работает. Чтобы получить готовый набор чисел, начните с примера.
3. 3. Проверьте расчёт. Формула показана с вашими значениями в единицах СИ, поэтому её можно сверить со своим расчётом построчно.
4. 4. Задайте точность. Результаты округляются до 3–6 значащих цифр; сама арифметика всегда ведётся с полной точностью.

Закон всемирного тяготения Ньютона

F = G m₁ m₂ / r²

g = G M / (R + h)²

Любые два тела притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. G — гравитационная постоянная, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² (CODATA 2022, погрешность около 0,0023%). Это наименее точно известная из фундаментальных констант (см. таблицы NIST CODATA). Поскольку она так мала, гравитация заметна, только когда одна из масс сравнима с планетой.

Две силы в формуле образуют пару. Тело 1 тянет тело 2 с той же силой, с какой тело 2 тянет тело 1, только в противоположном направлении (третий закон Ньютона). Но ускорения различаются, потому что ускорение равно силе, делённой на массу. Поэтому калькулятор выводит a₁ и a₂ отдельно. Закон и его задачи разобраны в OpenStax University Physics, раздел 13.1.

Рабочие примеры

1. Земля и Луна (пример по умолчанию). При M⊕ = 5,9722 × 10²⁴ kg, m☾ = 7,346 × 10²² kg и среднем расстоянии 384 400 km F = 1,982 × 10²⁰ N. Земля ускоряется к Луне всего на 3,318 × 10⁻⁵ m/s²; Луна ускоряется к Земле на 0,002698 m/s².
2. Человек массой 70 kg на Земле. Если взять средний радиус Земли, 6 371 km, как расстояние, F = 687,4 N, а ускорение человека составит 9,820 m/s². Это просто вес, W = mg, и именно поэтому g ≈ 9,8 m/s².
3. Два человека массой 70 kg на расстоянии одного метра. F = 3,270 × 10⁻⁷ N — около трети микроньютона, слишком мало, чтобы почувствовать или преодолеть трение.
4. Солнце и Земля. При массе Солнца 1,9884 × 10³⁰ kg и расстоянии 149 598 000 km F = 3,542 × 10²² N — именно эта сила удерживает Землю на орбите.

Ускорение свободного падения на высоте

Сила тяготения убывает с квадратом расстояния от центра планеты, а не от её поверхности. Поднимитесь на 408 km над Землёй — примерно на высоту орбиты Международной космической станции — и расстояние изменится с 6 371 km до 6 779 km. Напряжённость поля снизится до g = 8,674 m/s², что составляет 88,33% её значения на поверхности. На высоте 100 km, границе космоса по условному определению Кармана, она всё ещё равна 9,519 m/s² (96,93%). Даже на высоте 35 786 km геостационарной орбиты g равно 0,2243 m/s², около 2,3% от значения на поверхности, то есть не нулю.

Допущения и ограничения

• Точечные массы или однородные шары. Теорема Ньютона об оболочке показывает, что сферически симметричное тело притягивает так, будто вся его масса сосредоточена в центре, поэтому для планет и звёзд можно использовать ту же формулу. Для неправильных или несферических тел результат является приближённым.
• Расстояние — от центра до центра. Подстановка зазора между поверхностями — самая частая ошибка в домашних заданиях; сложите оба радиуса.
• Ньютоновская гравитация. Подходит для всего — от падающего яблока до орбит планет. Очень сильные поля или очень точные орбиты (перигелий Меркурия, часы GPS) требуют общей теории относительности.
• Данные о телах. Пресеты используют массы и средние объёмные радиусы из NASA's Planetary Fact Sheet. У газовых гигантов нет твёрдой поверхности, поэтому их радиус берётся на уровне давления 1 bar, а реальное g на поверхности зависит от широты и вращения.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула гравитационной силы?

F = G m₁ m₂ / r², где G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², m₁ и m₂ — две массы в килограммах, а r — расстояние между их центрами в метрах. Ответ получается в ньютонах. Удвоение любой массы удваивает силу, а удвоение расстояния уменьшает её в четыре раза.

Каково значение G и почему его так трудно измерить?

Рекомендованное CODATA значение 2022 года — 6,67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², погрешность около 22 частей на миллион. Гравитация — самая слабая из сил, поэтому в лаборатории приходится регистрировать крошечные силы между малыми массами на фоне вибраций и тепловых шумов, и разные эксперименты всё ещё немного расходятся между собой.

Как найти g на другой планете?

Используйте режим напряжённости поля с пресетом планеты и высотой 0: g = GM/R². Для Марса получится около 3,73 m/s², для Луны — около 1,62 m/s². Масса и радиус берутся из NASA's Planetary Fact Sheet.

Почему мой ответ так мал?

Гравитация между обычными предметами действительно ничтожна. Два человека массой 70 kg на расстоянии метра притягиваются друг к другу лишь с силой около 3 × 10⁻⁷ N. Проверьте и единицы: если расстояние введено в километрах, но прочитано как метры, сила меняется в миллион раз.

В чём разница между силой тяготения и весом?

Вес — это сила тяготения, с которой большое тело, обычно Земля, действует на предмет: W = mg, где g = GM/R² в данной точке. Калькулятор силы и формула веса дают один и тот же результат: человек массой 70 kg на поверхности Земли ощущает 687,4 N.

Может ли гравитация стать равной нулю?

Ни на каком конечном расстоянии. Сила убывает как 1/r², становясь очень малой, но никогда не равной нулю. Между двумя телами есть точки, где их притяжения уравновешивают друг друга, но каждое из притяжений при этом существует.