图形计算器
输入最多六个关于 x 的函数,即可同时看到它们的图像。您可以缩放和平移,让 y 轴自动适应曲线,也可以自行设定窗口;计算器会标出每条曲线与 x 轴的交点、两条曲线的交点,以及它们的极大值和极小值。图像下方是一张数值表,图片可下载为 PNG 或 SVG。计算在您的浏览器中进行。免费,无需注册。
以 x 为变量书写:x^2 − 3、sin(x)/x、abs(x)、sqrt(x)、e^(−x^2)、ln(x)、1/x。可用函数:sin、cos、tan、sec、csc、cot、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、ln、log(以 10 为底)、sqrt、abs。常数:pi 和 e。
结果
- y = sin(x)
- y = x/2
零点
函数 1: x = -9.424778, -6.283185, -3.141593, 0, 3.141593, 6.283185, 9.424778
函数 2: x = 0
交点
| 函数 | x | y |
|---|---|---|
| 函数 1 与 函数 2 | -1.895494 | -0.9477471 |
| 函数 1 与 函数 2 | 0 | 0 |
| 函数 1 与 函数 2 | 1.895494 | 0.9477471 |
数值表
| x | y1 | y2 |
|---|---|---|
| -5 | 0.9589243 | -2.5 |
| -4 | 0.7568025 | -2 |
| -3 | -0.14112 | -1.5 |
| -2 | -0.9092974 | -1 |
| -1 | -0.841471 | -0.5 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0.841471 | 0.5 |
| 2 | 0.9092974 | 1 |
| 3 | 0.14112 | 1.5 |
| 4 | -0.7568025 | 2 |
| 5 | -0.9589243 | 2.5 |
如何使用图形计算器
- 1. 输入函数。 将每个函数写成关于 x 的表达式:
x^2 - 3、sin(x)/x、abs(x)、e^(-x^2)、ln(x)、1/x。开头写y =或f(x) =也可以。点击“添加函数”最多可添加六个,每个函数以各自的颜色绘制。 - 2. 设置窗口。 输入 x 最小值、x 最大值、y 最小值和 y 最大值,或使用按钮进行缩放和平移。“将 y 适应曲线”会选取一个既能显示图形形状、又能忽略渐近线附近失控尾部的 y 范围;输入任一 y 值即可关闭该功能。“正方形网格”会使两个坐标轴上的一个单位长度相等。
- 3. 选择要标注的内容。 零点、每一对图像之间的交点,以及极大值和极小值,都会在整个窗口内通过数值方法求出,并列在图像下方。
- 4. 阅读数值表并导出。 数值表列出每个函数在等间距 x 处的取值。将图像下载为 PNG 或 SVG,即可用于报告或幻灯片。
计算器能找到什么
| 功能 | 求解方法 | 示例 |
|---|---|---|
| 零点 | f 的符号发生变化处,通过二分法精确定位;在 |f| 的极小值处出现的相切零点 | 在 [−10, 10] 上,sin x 的零点为 −3π、−2π、−π、0、π、2π、3π |
| 交点 | 每一对函数 f − g 的零点 | x² 与 x + 2 相交于 (−1, 1) 和 (2, 4) |
| 极大值与极小值 | 精确导数在其符号发生变化处的零点 | x³ − 3x 有一个极大值 (−1, 2) 和一个极小值 (1, −2) |
试试起始示例:sin x 与 x/2 在 x = 0 和 x ≈ ±1.8955 处相交(即 sin x = x/2 的位置),并且在窗口内,sin x 在 x = −3π/2、π/2 和 5π/2 处有极大值,在 x = −5π/2、−π/2 和 3π/2 处有极小值。开启“极大值与极小值”即可将它们全部列出。
渐近线、定义域与极限
- 渐近线。 凡函数无定义或跨越竖直渐近线之处,画笔都会抬起,因此 tan x 与 1/x 会显示为各自独立的分支,而不会画出错误的竖直线。
- 定义域。 函数只在有实数值的地方绘制:ln x 仅在 x > 0 时绘制,√x 仅在 x ≥ 0 时绘制。负数的奇次方根是实数,因此 x^(1/3) 在 0 的两侧都会绘制。
- 角度以弧度计。 若要计算以度为单位的角的正弦,请输入 sin(x*pi/180)。
- 数值特征可能被遗漏。 零点和交点是在窗口内 2,000 个点的网格上搜索的,因此宽度小于其窗口宽度约 1/2,000 的特征,或不穿过曲线的相切点,可能会被遗漏或略有偏差。遇到接近的情况时,请放大检查。
常见问题
- 如何同时绘制多个函数?
- 使用“添加函数”添加一行,最多六行。每个函数都会以各自的颜色绘制在同一坐标轴上,计算器还会列出每一对函数之间的交点。
- 如何找出两个图像的交点?
- 输入两个函数,并保持“交点”处于勾选状态。计算器会在窗口内通过数值方法求解 f(x) = g(x),并列出每个交点的 x 与 y 值。如果您期望的交点不在窗口内,请扩大窗口。
- 如何找到函数的零点或 x 截距?
- 保持“零点”处于勾选状态,然后阅读图像下方的列表;每个函数的 x 截距都会列出。若要精确求解二次方程,可使用二次方程求解器得到闭式根;牛顿法计算器则可将任一根精确到许多位小数。
- 为什么图像的一部分不见了?
- 该函数在那里可能无定义(负数的对数、负数的平方根、除以零),或者它位于您设定的 y 范围之外。请尝试“将 y 适应曲线”,或扩大窗口。
- 如何缩放和平移?
- 使用“放大”和“缩小”按钮,它们会以窗口中心为基准将窗口缩小一半或放大一倍;使用方向按钮可每次移动四分之一屏。您也可以在四个窗口输入框中直接输入精确数值。
- 它能绘制 x² + y² = 1 之类的方程或不等式吗?
- 不能。它只绘制函数 y = f(x)。圆可以用两个函数表示:sqrt(1 − x^2) 和 −sqrt(1 − x^2),再开启正方形网格,使其看起来是圆形。