如何找出箱线图中的异常值?

先求出 Q1、Q3 以及四分位距 IQR = Q3 − Q1。任何低于 Q1 − 1.5 × IQR 或高于 Q3 + 1.5 × IQR 的值都是异常值。在晚间班的示例中,Q1 = 61,Q3 = 68,因此 IQR = 7,栅栏为 50.5 和 78.5;成绩 95 超出上栅栏,因此以一个点画出。

什么是五数概括?

数据集的最小值、第一四分位数(Q1)、中位数、第三四分位数(Q3)和最大值。箱线图用箱体及其中线画出中间的三个数;须线止于栅栏之内最极端的数值,若没有异常值,这一数值即为最小值和最大值。图下的表格列出了每组的全部五个数、IQR 以及栅栏。

为什么我的四分位数与 Excel 或计算器的结果不同?

因为当四分位数落在两个数据值之间时,计算四分位数的方法有好几种。TI-83/84 和大多数教材取数据前后两半各自的中位数,Excel 的 QUARTILE.INC 和 R 采用包含式插值,而 QUARTILE.EXC 和 SPSS 采用排除式插值。在四分位数方法下选择相应的选项,箱体、栅栏和异常值便会随之调整。若只需单独计算四分位数,请使用 Quartile & IQR Calculator。

箱线图的须线有多长?

在 Tukey 箱线图中,每根须线最长为 1.5 倍 IQR。每根须线止于仍位于其栅栏之内的最极端数据值,因此常常短于 1.5 × IQR,超出的值则单独画成点。如果在四分位数与其栅栏之间没有任何数值,须线甚至可能没有长度。

箱线图应该水平还是垂直?

两种都正确。水平箱体便于容纳较长的组名,适合组数较多的情形;垂直箱体符合以纵轴表示数值的常见布局,适合组数较少、组名较短的情形。选择能让标签保持清晰可读的方式即可。

箱线图中的菱形是什么意思?

这里表示均值。勾选用菱形标出均值即可添加。将均值与中位数线进行比较可以看出偏度:均值明显高于中位数,通常意味着右侧有一条长尾。

箱线图生成器

为每组粘贴一列数字,即可获得并排排列的箱线图(箱形图):须线采用 Tukey 定义,异常值以点的形式画出,并列出每组的五数概括。选择您的课程或软件所用的四分位数方法,然后将图形下载为 SVG 或 PNG。免费,无需注册。

数据布局

每列一组每行一组

您的数据

每列一组,第一行写组名——可直接从电子表格中粘贴。用逗号、制表符或分号分隔(若数字使用小数逗号,请用分号)。

第一行写明各组名称

3 组

四分位数方法

箱体方向

水平垂直

用菱形标出均值

五数概括

组别	n	最小值	Q1	中位数	Q3	最大值	IQR	栅栏	异常值
上午班	10	72	76	81	85	90	9	62.5 至 98.5	无
下午班	10	65	69	72	77	81	8	57 至 89	无
晚间班	10	58	61	63.5	68	95	7	50.5 至 78.5	95

须线延伸至栅栏之内的最极端数值,栅栏为 Q1 − 1.5 × IQR 与 Q3 + 1.5 × IQR。超出栅栏的值单独画为异常值。

如何使用箱线图生成器

1. 输入各组数据。 每组放在一列中,组名写在第一行——可直接从电子表格粘贴;或者切换为每行一组,然后输入 上午班: 72, 75, 78 这样的内容。各组的数值个数可以不同。
2. 选择四分位数方法。 默认方法取数据前后两半各自的中位数,与 TI-83/84 以及大多数入门教材的做法一致。选择包含法可与 Excel 的 QUARTILE.INC、R 或 NumPy 保持一致;选择排除法则与 QUARTILE.EXC、SPSS 和 Minitab 一致。
3. 阅读图形和表格。 每个箱体从 Q1 延伸到 Q3,箱内的线为中位数;须线延伸到栅栏之内最极端的数值;超出栅栏的值即为异常值。五数概括表列出了绘图所依据的每一个数字。
4. 设置样式并导出。 可选择水平或垂直箱体,按中位数对各组排序,标出均值,添加标题并设为 APA 样式,然后下载 SVG 或 PNG。

箱线图的构成

箱体从第一四分位数(Q1)延伸到第三四分位数(Q3),因此包含数据中间的一半。它的长度是四分位距,IQR = Q3 − Q1。
箱内的线是中位数。
栅栏位于箱体两侧各 1.5 × IQR 处:下栅栏 = Q1 − 1.5 × IQR,上栅栏 = Q3 + 1.5 × IQR。栅栏本身不画出,它们用于判定什么是异常值。
须线从箱体延伸到仍位于栅栏之内的最极端数据值。
异常值即超出栅栏的值,逐个以空心圆画出。这是 Tukey 在 Exploratory Data Analysis(1977)中提出的约定。有些软件则让须线延伸到最小值和最大值,且不标出异常值,因此图形应说明所采用的方法。

示例:晚间班

示例中晚间班的测验成绩按顺序为 58、59、61、62、63、64、66、68、70 和 95。共有 10 个数值,因此中位数是第 5 和第 6 个数值的平均值:(63 + 64) ÷ 2 = 63.5。采用各半数据中位数的方法时,Q1 是较小的 5 个数值的中位数,即 61;Q3 是较大的 5 个数值的中位数,即 68。因此 IQR = 68 − 61 = 7,栅栏为 61 − 10.5 = 50.5 和 68 + 10.5 = 78.5。95 超出上栅栏,因此以异常值画出;上须线止于 70,这是栅栏之内最大的成绩。

四分位数方法如何改变晚间班的箱体
四分位数方法	Q1	中位数	Q3	IQR	上栅栏
各半数据的中位数(TI-84)	61	63.5	68	7	78.5
包含法(Excel QUARTILE.INC)	61.25	63.5	67.5	6.25	76.875
排除法(Excel QUARTILE.EXC)	60.5	63.5	68.5	8	80.5

无论采用哪种方法,中位数都相同;在这三种方法下,95 都是异常值。

这些差异看似很小,但它们可能决定一个临界值是否为异常值。因此,所用方法应与您的课程、计算器或统计软件相符,而且图形的注释中应说明须线是如何画出的。

何时使用箱线图

箱线图适合并排比较各组的分布,例如按班级划分的测验成绩,或按条件划分的反应时间。每个箱体寥寥数笔即可展示中心、离散程度和偏度,而且中位数与四分位数不会被极端值拉偏。箱线图也有局限:它无法显示两个聚集区,不能反映箱体背后有多少个数值,而且当数值少于约五个时,其四分位数几乎没有依据。对于小样本,请用点图显示每个数据点;若要查看一个大样本的形状,请使用直方图。

将箱线图用作 APA 图形

开启 APA 样式图形;标题移出图像,网格线也一并去掉。在图像上方,图号用粗体,标题用斜体并采用标题式大写——点击复制编号和标题即可自动完成格式设置。
在注释中说明各部分的含义,因为不同的惯例并不相同:注。箱体表示四分位距及中位数;须线延伸到 1.5 × IQR 之内的最极端数值;圆点为异常值;菱形为均值。
在注释或坐标轴标签中给出每组的 n,使读者了解每个箱体概括了多少数据。

常见问题

如何找出箱线图中的异常值?: 先求出 Q1、Q3 以及四分位距 IQR = Q3 − Q1。任何低于 Q1 − 1.5 × IQR 或高于 Q3 + 1.5 × IQR 的值都是异常值。在晚间班的示例中,Q1 = 61,Q3 = 68,因此 IQR = 7,栅栏为 50.5 和 78.5;成绩 95 超出上栅栏,因此以一个点画出。
什么是五数概括?: 数据集的最小值、第一四分位数(Q1)、中位数、第三四分位数(Q3)和最大值。箱线图用箱体及其中线画出中间的三个数;须线止于栅栏之内最极端的数值,若没有异常值,这一数值即为最小值和最大值。图下的表格列出了每组的全部五个数、IQR 以及栅栏。
为什么我的四分位数与 Excel 或计算器的结果不同?: 因为当四分位数落在两个数据值之间时,计算四分位数的方法有好几种。TI-83/84 和大多数教材取数据前后两半各自的中位数,Excel 的 QUARTILE.INC 和 R 采用包含式插值,而 QUARTILE.EXC 和 SPSS 采用排除式插值。在四分位数方法下选择相应的选项,箱体、栅栏和异常值便会随之调整。若只需单独计算四分位数,请使用 Quartile & IQR Calculator。
箱线图的须线有多长?: 在 Tukey 箱线图中,每根须线最长为 1.5 倍 IQR。每根须线止于仍位于其栅栏之内的最极端数据值,因此常常短于 1.5 × IQR,超出的值则单独画成点。如果在四分位数与其栅栏之间没有任何数值,须线甚至可能没有长度。
箱线图应该水平还是垂直?: 两种都正确。水平箱体便于容纳较长的组名,适合组数较多的情形;垂直箱体符合以纵轴表示数值的常见布局,适合组数较少、组名较短的情形。选择能让标签保持清晰可读的方式即可。
箱线图中的菱形是什么意思?: 这里表示均值。勾选用菱形标出均值即可添加。将均值与中位数线进行比较可以看出偏度:均值明显高于中位数,通常意味着右侧有一条长尾。