حاسبة معادلة أرهينيوس

النتائج

كيفية استخدام حاسبة معادلة أرهينيوس

1. 1. اختر الوضع. استخدم الأول لتطبيق k = Ae^(−Ea/RT) مباشرة، والثاني حين تملك ثوابت معدل عند درجتي حرارة، والثالث لسؤال «كم يكون أسرع عند درجة أعلى بـ 10 °C؟»، والرابع لمطابقة عدة قياسات.
2. 2. حدّد المجهول وأدخل الباقي. يمكن أن تكون طاقة التنشيط بوحدة kJ/mol أو J/mol أو kcal/mol أو cal/mol، ودرجة الحرارة بوحدة K أو °C أو °F. وتأخذ ثوابت المعدل أي وحدة، ويستخدم A الوحدة نفسها؛ اكتب الوحدة في خانة الملصق إن أردت ظهورها.
3. 3. تحقق من درجة الحرارة. تُحوَّل إلى الكلفن أولًا، وتُرفض القيمة عند الصفر المطلق أو دونه.
4. 4. اقرأ العمل. يُعرض كل سطر بأرقامك و R = 8.314 462 618 J/(mol·K)، لتقارنه بحلّك.

معادلة أرهينيوس

k = A × e^(−Ea / RT)

ln k = ln A − (Ea / R)(1 / T)

ln(k₂ / k₁) = (Ea / R)(1 / T₁ − 1 / T₂)

k ثابت المعدل، وA عامل ما قبل الأُسّي (عامل التردد)، وEa طاقة التنشيط بوحدة J/mol، وR ثابت الغاز، وT درجة الحرارة المطلقة بالكلفن. الحد e^(−Ea/RT) هو كسر التصادمات التي تحمل طاقة التنشيط على الأقل، لذلك يقع دائمًا بين 0 و1. ولهذا لا يمكن أن يتجاوز k القيمة A، ولهذا تُبلغ الحاسبة بخطأ إذا طلبت Ea من k أكبر من A.

الصيغة الخطية هي ما يجعل المعادلة عملية. ارسم ln k مقابل 1/T لقياسات عند عدة درجات حرارة، فتحصل على خط مستقيم ميله −Ea/R وتقاطعه ln A (OpenStax Chemistry 2e، الفصل 12). ثابت الغاز صار قيمة دقيقة بالتعريف منذ إعادة تعريف النظام الدولي للوحدات عام 2019: R = 8.314 462 618… J/(mol·K) (NIST)، وتستخدمه الحاسبة كاملًا لا 8.314 ولا 8.31.

أمثلة تطبيقية

k من A وEa (المدخلات الافتراضية). مع A = 1.00 × 10¹³ s⁻¹ وEa = 75.0 kJ/mol وT = 25.0 °C (298.15 K)، يكون Ea ÷ RT = 75 000 ÷ (8.314 462 618 × 298.15) = 30.3، فيكون k = 1.00 × 10¹³ × e^(−30.25) = 0.725 s⁻¹. ولا يملك سوى 7.25 × 10⁻¹⁴ من التصادمات طاقة كافية.

Ea من درجتي حرارة. عند تحلل N₂O₅، يكون k = 1.66 L mol⁻¹ s⁻¹ عند 650 K و7.39 L mol⁻¹ s⁻¹ عند 700 K (البيانات الواردة في مسألة «تحقّق من تعلّمك» في OpenStax). Ea = R ln(7.39 ÷ 1.66) ÷ (1/650 − 1/700) = 8.314 462 618 × 1.49 ÷ 1.099 × 10⁻⁴ = 113 kJ/mol، ويخرج عامل ما قبل الأُسّي 1.99 × 10⁹ L mol⁻¹ s⁻¹.

تغيّر المعدل لكل 10 °C. لـ Ea = 50.0 kJ/mol بدءًا من 25.0 °C، يكون k₂ ÷ k₁ = e^[(50 000 ÷ 8.314 462 618)(1/298.15 − 1/308.15)] = 1.92. أما القاعدة المتداولة «يتضاعف المعدل كل 10 °C» فتقابل Ea نحو 53 kJ/mol قرب درجة حرارة الغرفة. ويتسارع تفاعل طاقته 25 kJ/mol بمقدار 1.39 مرة فقط، وآخر طاقته 100 kJ/mol بمقدار 3.70 مرة.

مخطط أرهينيوس. مطابقة القياسات الخمسة لتحلل HI من الفصل نفسه في OpenStax (555–781 K) تعطي خطًا ميله −22 287 K، فتكون Ea = 185 kJ/mol، وA = 8.83 × 10¹⁰ L mol⁻¹ s⁻¹، وR² = 0.9996. والتقدير البياني المقرّب في الكتاب هو 180 kJ/mol؛ أما المطابقة بالمربعات الصغرى فتستخدم كل النقاط، وتكون أقل حساسية للتقريب.

أخطاء شائعة

• استخدام الدرجات المئوية لـ T. تحتاج المعادلة إلى الكلفن. الخطوة 10 °C تساوي 10 K، لكن 25 °C تساوي 298.15 K لا 25.
• خلط kJ وJ. يجب قسمة Ea بوحدة kJ/mol على R بوحدة J/(mol·K) بعد تحويلها إلى جول. وتتولى الحاسبة ذلك من قائمة الوحدات.
• تبديل الأزواج. احتفظ بكل ثابت معدل مع درجة حرارته. عكس الترتيب في الزوجين معًا يعطي Ea نفسها، أما خلط الأزواج فيعطي الإشارة الخاطئة.
• تقريب R أو 1/T مبكرًا. الفرق 1/T₁ − 1/T₂ فرق صغير بين عددين كبيرين؛ وتقريب أيٍّ منهما إلى ثلاثة أرقام قد يغيّر Ea بعدة kJ/mol.
• الثقة بنقطتين. القياسان يطابقان خطًا دائمًا. ثلاث درجات حرارة أو أكثر تتيح لك أن ترى إن كانت البيانات أرهينيوسية حقًا.

الأسئلة الشائعة

ما معادلة أرهينيوس؟

k = A·e^(−Ea/RT). وهي تربط ثابت معدل التفاعل k بدرجة الحرارة المطلقة T عبر طاقة التنشيط Ea وعامل ما قبل الأُسّي A. ورفع درجة الحرارة أو خفض Ea يزيد k.

كيف تحسب طاقة التنشيط من درجتي حرارة؟

استخدم Ea = R × ln(k₂/k₁) ÷ (1/T₁ − 1/T₂)، مع T بالكلفن و R = 8.314 J/(mol·K). تخرج الإجابة بوحدة J/mol؛ اقسم على 1000 للحصول على kJ/mol. فلثابتي معدل 1.66 و7.39 عند 650 K و700 K، تكون Ea نحو 113 kJ/mol.

كم يزداد المعدل مع كل ارتفاع 10 °C؟

يعتمد ذلك على Ea وعلى درجة الحرارة الابتدائية. قاعدة الإبهام الشائعة هي التضاعف أو التثلث، وهي تطابق Ea نحو 50–80 kJ/mol قرب 25 °C. وعند درجات أعلى تعطي Ea نفسها عاملًا أصغر، لأن 1/T يتغير بقدر أقل مع كل درجة.

ما وحدات عامل ما قبل الأُسّي؟

هي وحدات ثابت المعدل نفسها. في التفاعل من الرتبة الأولى تكون s⁻¹، وفي التفاعل من الرتبة الثانية L mol⁻¹ s⁻¹. الجزء الأُسّي بلا وحدات، لذلك تحمل A كل الوحدات.

هل يمكن أن تكون طاقة التنشيط سالبة؟

نادرًا. تعني Ea الظاهرية السالبة أن k يتناقص مع الحرارة، وهذا يحدث في بعض التفاعلات الجذرية دون حاجز والآليات متعددة الخطوات. وفي مسألة تمهيدية تدل غالبًا على أن البيانات أُدخلت بترتيب خاطئ.

لماذا نرسم ln k مقابل 1/T؟

أخذ اللوغاريتم الطبيعي للمعادلة يحوّلها إلى خط مستقيم: ln k = ln A − (Ea/R)(1/T). الميل يعطي Ea، والتقاطع يعطي A، والتشتت يبيّن هل يتبع التفاعل آلية واحدة على مدى درجات الحرارة.